Determine o polinômio característico, ache os autovalores e exiba uma base de autovetores para a matriz
cccc 4 & -3 & 1 & 1 2 & -1 & 1 & 1 0 & 0 & -4 & 3 0 & 0 & 2 & 1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o polinômio característico, os autovalores e uma base de autovetores da matriz
A=4 & -3 & 1 & 12 & -1 & 1 & 10 & 0 & -4 & 30 & 0 & 2 & 1
O conteúdo principal é usar a forma de bloco triangular para o polinômio característico e depois resolver (A-lambda I)v=0 para cada lambda.

Passo 2

Como A é triangular por blocos
A=B & C0 & D,
o polinômio característico fatora como
p(lambda)=det(A-lambda I)=det(B-lambda I)cdotdet(D-lambda I)
Calculando cada bloco:
B=4 & -32 & -1 det(B-lambda I)=lambda^2-3lambda+2
e D=-4 & 32 & 1 det(D-lambda I)=lambda^2+3lambda-10.

Passo 3

As raízes de p(lambda)=(lambda^2-3lambda+2)(lambda^2+3lambda-10) são
lambda=1,2 (de lambda^2-3lambda+2=(lambda-1)(lambda-2)) e
lambda=2,-5 (de lambda^2+3lambda-10=(lambda-2)(lambda+5)).
Logo os autovalores são 1,2 (com multiplicidade algébrica 2) e -5.

Passo 4

Para lambda=1, como 1 não está em D, basta resolver
(B-I)x=0 em R^2 e tomar y=0. Assim
B-I=3 & -32 & -2 implies x1=x2
Uma escolha de vetor próprio em R^4 é
v1=(1,1,0,0)^T

Passo 5

Para lambda=-5, como -5 não está em B, basta resolver
(D+5I)y=0 em R^2 e tomar x=0.
D+5I=1 & 32 & 6 implies y=(-3,1)^T
Assim um vetor próprio em R^4 é
v2=(0,0,-3,1)^T

Passo 6

Para lambda=2, que aparece em ambos blocos, escrevemos
(B-2I)x + Cy =0,(D-2I)y=0
Em D-2I achamos
y=(1,2)^T
como base de seu núcleo. Substituindo em (B-2I)x=-Cy obtemos uma família de soluções de dimensão 2. Dois vetores linearmente independentes são
v3=(3,2,0,0)^T
e
v4=(0,1,1,2)^T

Resposta

O polinômio característico é
p(lambda)=(lambda^2-3lambda+2)(lambda^2+3lambda-10)
Os autovalores são
lambda=1,;2;(mu<iplicidade;2),;-5
Bases de autovetores:
Para lambda=1: (1,1,0,0)^T;
Para lambda=2: (3,2,0,0)^T, (0,1,1,2)^T;
Para lambda=-5: (0,0,-3,1)^T

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