Determine o polinômio característico e os autovalores da matriz
cccccc 4 & -3 & a3 & a4 & a5 & a6 2 & -1 & b3 & b4 & b5 & b6 0 & 0 & -4 & 3 & c5 & c6 0 & 0 & 2 & 1 & d5 & d6 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & -1

Passo 1

O enunciado pede o polinômio característico e os autovalores de uma matriz 6×6 que, por observação, é triangular por blocos em três matrizes 2×2 na diagonal. Vamos usar a teoria de que o polinômio característico de uma matriz block triangular é o produto dos polinômios característicos de cada bloco diagonal e calcular determinantes de matrizes 2×2.

Passo 2

Identificamos os três blocos diagonais:
Bloco 1:
B1 = 4 & -32 & -1
Bloco 2:
B2 = -4 & 32 & 1
Bloco 3:
B3 = 1 & 33 & -1

Passo 3

Agora, calculamos o polinômio de cada bloco. Para o bloco 1,
lambda I - B1 = lambda-4 & 3-2 & lambda+1
Logo,
det(lambda I - B1) = (lambda-4)(lambda+1) - (3cdot -2) = lambda^2 -3lambda +2

Passo 4

Para o bloco 2,
lambda I - B2 = lambda+4 & -3-2 & lambda-1
Então
det(lambda I - B2) = (lambda+4)(lambda-1) - ((-3)cdot2) = lambda^2 +3lambda +2

Passo 5

Para o bloco 3,
lambda I - B3 = lambda-1 & -3-3 & lambda+1
E
det(lambda I - B3) = (lambda-1)(lambda+1) - ((-3)cdot(-3)) = lambda^2 -10

Passo 6

Como a matriz original é block triangular, o polinômio característico é o produto dos três determinantes obtidos anteriormente,
p(lambda) = (lambda^2 -3lambda +2)(lambda^2 +3lambda +2)(lambda^2 -10)

Passo 7

Os autovalores são as raízes de cada fator do produto.

Resposta

Polinômio característico: p(lambda)=(lambda^2-3lambda+2)(lambda^2+3lambda+2)(lambda^2-10). Autovalores: de lambda^2-3lambda+2 vêm 1 e 2; de lambda^2+3lambda+2 vêm -1 e -2; de lambda^2-10 vêm raiz10 e -raiz10.

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