Determine o polinômio característico e os autovalores da matriz
Passo 1
O enunciado pede o polinômio característico e os autovalores de uma matriz 6×6 que, por observação, é triangular por blocos em três matrizes 2×2 na diagonal. Vamos usar a teoria de que o polinômio característico de uma matriz block triangular é o produto dos polinômios característicos de cada bloco diagonal e calcular determinantes de matrizes 2×2.
Passo 2
Identificamos os três blocos diagonais:
Bloco 1:
B1 = 4 & -32 & -1
Bloco 2:
B2 = -4 & 32 & 1
Bloco 3:
B3 = 1 & 33 & -1
Passo 3
Agora, calculamos o polinômio de cada bloco. Para o bloco 1,
Os autovalores são as raízes de cada fator do produto.
Resposta
Polinômio característico: p(lambda)=(lambda^2-3lambda+2)(lambda^2+3lambda+2)(lambda^2-10). Autovalores: de lambda^2-3lambda+2 vêm 1 e 2; de lambda^2+3lambda+2 vêm -1 e -2; de lambda^2-10 vêm raiz10 e -raiz10.
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Elon Lages Lima - Algebra Linear - 1ª Edição - Capítulo 20.Exercícios - Ex. 20.7