Associar cada equação (I a V) a uma das opções (A a C).
I. x^2+y^2=1
II. x^2+y^2=0
A) circunferência
III. x^2+y^2+1=0
B) ponto
IV. x^2+y^2-2 x+1=0
C) conjunto vazio
V. x^2+y^2-2 x-1=0

Passo 1

O enunciado pede para associar cada equação de segundo grau no plano às opções de ser circunferência, ponto ou conjunto vazio. O conteúdo é o estudo da forma geral
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0
e sua classificação via completamento de quadrados para obter centro e raio.

Passo 2

A forma geral
x^2+y^2+Dx+Ey+F=0
corresponde a uma circunferência de centro
l(-tfrac D2,,-tfrac E2r)
e raio ao quadrado
r^2=l(tfrac D2r)^2+l(tfrac E2r)^2-F
Se r^2>0 temos uma circunferência, se r^2=0 um ponto e se r^2<0 o conjunto vazio.

Passo 3

Para I, a equação é ,x^2+y^2=1. Aqui D=0, E=0, F=-1. Então
r^2=0+0-(-1)=1>0,
logo é uma circunferência (A).

Passo 4

Para II, a equação é ,x^2+y^2=0. Aqui D=0, E=0, F=0. Então
r^2=0+0-0=0,
o que corresponde a um ponto (B).

Passo 5

Para III, a equação é ,x^2+y^2+1=0. Aqui D=0, E=0, F=1. Assim
r^2=0+0-1=-1<0,
logo refere-se ao conjunto vazio (C).

Passo 6

Para IV, a equação é ,x^2+y^2-2x+1=0. Completando o quadrado,
x^2-2x+1+y^2=(x-1)^2+y^2=0,
portanto r^2=0, isto é, um ponto (B).

Passo 7

Para V, a equação é ,x^2+y^2-2x-1=0. Completando o quadrado,
x^2-2x+1+y^2=(x-1)^2+y^2=2,
logo r^2=2>0, ou seja, uma circunferência (A).

Resposta

I – A
II – B
III – C
IV – B
V – A

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