Em cada caso, identifique a cônica C, determine o comprimento do latus rectum, dos eixos, a posição dos focos, vértices e da diretriz. Determine a equação cartesiana de C e faça um esboço da curva no plano.
C: rho=32(1-cos theta),

Passo 1

O enunciado dá a cônica em coordenadas polares pela relação rho=32(1-costheta). O conteúdo é conicidade em coordenadas polares, onde usamos a forma canônica rho=ed1pm ecostheta para identificar tipo, excentricidade e e parâmetro d.

Passo 2

Comparamos rho=tfrac32(1-costheta) com rho=tfraced1- ecostheta. Daí obtemos e=1 e d=tfrac32. Como e=1, concluímos que é uma parábola, com foco na origem e diretriz x=tfrac32.

Passo 3

Para a parábola, o vértice fica no ponto médio entre foco e diretriz ao longo do eixo de simetria. Como o foco é (0,0) e a diretriz é x=tfrac32, o vértice é l(tfrac34,0r). O eixo de simetria é a reta horizontal y=0, e a parábola abre para a esquerda (denominador 1-costheta).

Passo 4

Para obter a equação cartesiana, usamos a definição rho=raizx^2+y^2 e costheta=tfracxrho. Substituindo na polar:
raizx^2+y^2=3/21-tfracxraizx^2+y^2
Fazendo hipotenusa e rearranjando, chega-se a
y^2=-3,(x-tfrac34),

Passo 5

O parâmetro focal (distância do foco ao vértice) vale p=tfrac34 em módulo, e para parábola y^2=4p(x-h) o latus rectum tem comprimento |4p|=3. Os dois extremos do latus rectum ficam na vertical do foco x=0, com
y=pm32,
Esboço: reta diretriz x=tfrac32 à direita, foco na origem, vértice em (0,75,0). A parábola abre para a esquerda cruzando a linha vertical de equação x=0 nos pontos (0,pm1,5).

Resposta

É uma parábola (excentricidade 1) com
foco em (0,0),
vértice em (3/4,0),
diretriz x=3/2,
equação cartesiana y²=−3(x−3/4),
comprimento do latus rectum =3.

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