Em cada item, determine uma equação polar para a cônica C, determinando o comprimento do semi-latus rectum e faça um esboço da curva no plano.
C: 2 x y+x-1=0,

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a representação em coordenadas polares da cônica dada por 2xy+x-1=0, calcular o comprimento do semi-latus-rectum e esboçar a curva. Vamos usar x= r cosθ e y= r sinθ.

Passo 2

Substituindo x=rcostheta e y=rsintheta em 2xy+x-1=0 obtemos:
r^2,2costhetasintheta + rcostheta - 1 = 0
Como 2costhetasintheta=sin2theta, a equação fica
r^2sin2theta + rcostheta - 1 = 0

Passo 3

Isolando r na equação quadrática em r:
r = -costheta pm raizcos^2theta + 4sin2theta2sin2theta
Para ter r>0 escolhemos o sinal “+”. Essa é a forma explícita em polar.

Passo 4

Para identificar a cônica, mudamos de variáveis definindo e . A equação original vira
$$
uv = \tfrac12,
.
O esboço tem centro em , assíntotas em e , e dois ramos nos quadrantes onde .

Resposta

A equação polar implícita é
r^2sin2theta + rcostheta - 1 = 0
ou explicitamente
r = -costheta + raizcos^2theta + 4sin2theta2sin2theta
o semi-latus-rectum vale p=1.

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