Em cada caso, identifique a cônica
, determine o comprimento do latus rectum, dos eixos, a posição dos focos, vértices e da diretriz. Determine a equação cartesiana de
e faça um esboço da curva no plano.
,
Passo 1
A equação em coordenadas polares é
. O conteúdo aqui é seções cônicas em forma polar, que na forma padrão se escreve
. Vamos precisar identificar o parâmetro focal
, a excentricidade
, converter em coordenadas cartesianas e então extrair comprimento dos eixos, latus rectum, focos, vértices e diretriz.
Passo 2
Observe que
então podemos reescrever
$
p=\tfrac12
e=\tfrac14$.
Passo 3
Como
, a curva é uma elipse. O semilatus rectum é
e o latus rectum (o comprimento do segmento focal perpendicular ao eixo maior) vale
Passo 4
Para converter em cartesiano usamos
e
. Assim
15x^2 + 16y^2 + 4x - 4 = 0.$$
Passo 5
Para achar centro, focos, vértices e eixos, completamos o quadrado em
:
\frac{(x+2/15)2}{(8/15)2} + \frac{y2}{(2\sqrt{15}/15)2} = 1.
a=\tfrac{8}{15},\quad b=\tfrac{2\sqrt{15}}{15},\quad c = ae = \tfrac{2}{15}.
. Os vértices ficam em
. Os vértices ficam em
e os focos em
Passo 6
As duas diretrizes de uma elipse horizontal são
$$x = -2\quade\quad x = -\tfrac{34}{15},
.
Para esboçar, desenhe a elipse centrada em , eixo maior horizontal comprimento
, focos em
e
, e marque a diretriz
.
.
Para esboçar, desenhe a elipse centrada em
Resposta
A curva é uma elipse de excentricidade
, semieixos
e
, semilatus rectum
e latus rectum de comprimento
. O foco principal está no polo
e o outro em
; os vértices são
e
; a diretriz usada na forma polar é
. A equação cartesiana é
ou, na forma geral,