Em cada caso, identifique a cônica C, determine o comprimento do latus rectum, dos eixos, a posição dos focos, vértices e da diretriz. Determine a equação cartesiana de C e faça um esboço da curva no plano.
C: rho=24+cos theta,

Passo 1

A equação em coordenadas polares é rho=24+costheta. O conteúdo aqui é seções cônicas em forma polar, que na forma padrão se escreve rho=p1+ecostheta. Vamos precisar identificar o parâmetro focal p, a excentricidade e, converter em coordenadas cartesianas e então extrair comprimento dos eixos, latus rectum, focos, vértices e diretriz.

Passo 2

Observe que
4+costheta=4l(1+tfrac14costhetar)
então podemos reescrever
$ rho=24+costheta = 24 11+tfrac14costheta = 1/21+(1/4)costheta p=tfrac12âép=\tfrac12 e=tfrac14ée=\tfrac14$.

Passo 3

Como e<1, a curva é uma elipse. O semilatus rectum é p=tfrac12 e o latus rectum (o comprimento do segmento focal perpendicular ao eixo maior) vale
2p = 2timestfrac12 = 1

Passo 4

Para converter em cartesiano usamos e . Assim
15x^2 + 16y^2 + 4x - 4 = 0.$$

Passo 5

Para achar centro, focos, vértices e eixos, completamos o quadrado em :
\frac{(x+2/15)2}{(8/15)2} + \frac{y2}{(2\sqrt{15}/15)2} = 1.
íí
a=\tfrac{8}{15},\quad b=\tfrac{2\sqrt{15}}{15},\quad c = ae = \tfrac{2}{15}.
. Os vértices ficam em
e os focos em

Passo 6

As duas diretrizes de uma elipse horizontal são
$$x = -2\quade\quad x = -\tfrac{34}{15},
.
Para esboçar, desenhe a elipse centrada em , eixo maior horizontal comprimento , focos em e , e marque a diretriz .

Resposta

A curva é uma elipse de excentricidade e=1/4, semieixos a=8/15 e b=2raiz15/15, semilatus rectum p=1/2 e latus rectum de comprimento 1. O foco principal está no polo (0,0) e o outro em (-4/15,0); os vértices são (-2/3,0) e (2/5,0); a diretriz usada na forma polar é x=-2. A equação cartesiana é
(x+2/15)^2(8/15)^2+y^2(2raiz15/15)^2=1
ou, na forma geral,
15x^2+16y^2+4x-4=0

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