Em cada item, determine uma equação polar para a cônica C, determinando o comprimento do semi-latus rectum e faça um esboço da curva no plano.
C: x^2+6 y^2-3 y=4,

Passo 1

O enunciado pede a equação polar da cônica dada por x^2 + 6y^2 - 3y = 4, determinando o semi-latus rectum e fazendo um esboço. O conteúdo envolve identificar que se trata de uma elipse, pôr em forma padrão, achar centro, semi-eixos, focos, excentricidade e parâmetro focal.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em y:
x^2 + 6l(y^2 - tfrac12yr) = 4
x^2 + 6l((y - tfrac14)^2 - tfrac116r) = 4
x^2 + 6(y - tfrac14)^2 = 4 + tfrac616 = tfrac358
Dividindo por 35/8 obtemos a forma padrão
x^235/8 + (y - 1/4)^235/48 = 1
Logo o centro é (0,1/4), com semi-eixos a = raiz35/8 (horizontal) e b = raiz35/48 (vertical).

Passo 3

Para elipse definimos c^2 = a^2 - b^2. Aqui
a^2 = 358, b^2 = 3548, c^2 = 358 - 3548 = 17548
Logo c = raiz175/48 e a excentricidade é
e = ca = raiz56,
o que confirma que é realmente uma elipse, pois 0<e<1.

Passo 4

O semi-latus rectum (parâmetro focal) em elipse é
p = b^2a = 35/48raiz35/8 = raiz7024,
Esse p é o comprimento do semi-latus rectum.

Passo 5

Para escrever a equação polar, escolhemos como polo o foco direito, ou seja o ponto
(c,1/4), e alinhamos o eixo polar ao longo do eixo maior (horizontal). A diretiz correspondente fica na posição vertical afastada do polo, e a forma geral é
r = p1 + ecostheta

Passo 6

Substituindo e = raiz5/6 e p = tfracraiz7024, a equação polar fica
r = tfracraiz70241 + raiztfrac56,costheta,

Passo 7

Esboço: trata-se de uma elipse centrada em (0,1/4), com eixo maior horizontal de semi-eixo aapprox2,09, focos em (pm c,1/4), e curva mais alongada na direção x. No polo (foco direito) ela atinge o vértice mais próximo quando theta=pi e o mais distante em theta=0.

Resposta

A equação polar, tomando como polo o foco direito e eixo polar ao longo do eixo maior, é
r = tfracraiz70241 + raiztfrac56costheta,
o semi-latus rectum vale p = tfracraiz7024.

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