Em cada item, determine uma equação polar para a cônica
, determinando o comprimento do semi-latus rectum e faça um esboço da curva no plano.
,
Passo 1
O enunciado pede a equação polar da cônica dada por
, determinando o semi-latus rectum e fazendo um esboço. O conteúdo envolve identificar que se trata de uma elipse, pôr em forma padrão, achar centro, semi-eixos, focos, excentricidade e parâmetro focal.
Passo 2
Começamos completando o quadrado em
:
Dividindo por
obtemos a forma padrão
Logo o centro é
, com semi-eixos
(horizontal) e
(vertical).
Passo 3
Para elipse definimos
. Aqui
Logo
e a excentricidade é
o que confirma que é realmente uma elipse, pois
.
Passo 4
O semi-latus rectum (parâmetro focal) em elipse é
Esse
é o comprimento do semi-latus rectum.
Passo 5
Para escrever a equação polar, escolhemos como polo o foco direito, ou seja o ponto
, e alinhamos o eixo polar ao longo do eixo maior (horizontal). A diretiz correspondente fica na posição vertical afastada do polo, e a forma geral é
Passo 6
Substituindo
e
, a equação polar fica
Passo 7
Esboço: trata-se de uma elipse centrada em
, com eixo maior horizontal de semi-eixo
, focos em
, e curva mais alongada na direção
. No polo (foco direito) ela atinge o vértice mais próximo quando
e o mais distante em
.
Resposta
A equação polar, tomando como polo o foco direito e eixo polar ao longo do eixo maior, é
o semi-latus rectum vale
.