Em cada caso, identifique a cônica C, determine o comprimento do latus rectum, dos eixos, a posição dos focos, vértices e da diretriz. Determine a equação cartesiana de C e faça um esboço da curva no plano.
C: rho(2+5 cos theta)=1,

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica em coordenadas polares pela equação rho,(2 + 5costheta)=1. O conteúdo é estudo de cônicas em coordenadas polares, onde precisamos reconhecer a forma padrão
rho = e,d1 + ecostheta
e extrair o valor da excentricidade e e da distância da diretriz ao foco d.

Passo 2

Isolando rho temos
rho = 12 + 5costheta = 1/21 + (5/2)costheta
Daí vemos e = 5/2 e e,d = 1/2, logo d = tfrac1/25/2 = tfrac15.

Passo 3

Como e = 2,5 > 1, trata-se de uma hipérbole com foco em O(0,0). O eixo principal é o eixo x (devido ao costheta) e a diretriz associada a este ramo é a reta vertical
x = d = tfrac15

Passo 4

Os vértices são as interseções com o eixo principal ( theta=0 e theta=pi). Para theta=0:
rho = 12+5=17, V1l(tfrac17,0r)
Para theta=pi:
rho = 12-5 = -tfrac13
o que em coordenadas cartesianas dá
V2(x2,0)=(tfrac13,0).

Passo 5

O centro C da hipérbole é o ponto médio de V1V2:
Cl(tfrac1/7 + 1/32,0r)=l(tfrac521,0r)
O semi-eixo transverso é
a = V2x - V1x2 = 1/3 - 1/72 = 221,
e a excentricidade já sabemos e=5/2, então o semi-eixo conjugado
b = araize^2 - 1 = 221raizl(52r)^2 -1 = 1raiz21

Passo 6

O comprimento dos eixos é
transverso = 2a = 421, conjugado = 2b = 2raiz21
O comprimento do latus rectum (focal) em qualquer hipérbole é
ell = 2b^2a = 2,(1/21)2/21 = 1

Passo 7

Os focos são simétricos em relação ao centro. Já temos um foco em O(0,0); o outro foco F2 fica a distância 2c sobre o eixo:\npara hipérbole c = ae = (2/21),(5/2)=5/21, então
F2l(2cdottfrac521,0r)=l(tfrac1021,0r)

Passo 8

A equação cartesiana completa sai de substituir rho=raizx^2+y^2 e costheta = x/raizx^2+y^2 em 2rho + 5rhocostheta =1 e simplificar:
2raizx^2+y^2+5x=1
Longrightarrow 21x^2 -4y^2 -10x +1 = 0

Passo 9

No plano, o esboço é uma hipérbole centrada em (5/21,0), com vértices em (1/7,0) e (1/3,0), focos em (0,0) e (10/21,0), e diretriz x=1/5. Cada ramo abre para a esquerda e para a direita ao longo do eixo x.

Resposta

A cônica é uma hipérbole com excentricidade e=5/2. Foco em O(0,0), segunda foco em (10/21,0), vértices em (1/7,0) e (1/3,0), centro em (5/21,0). Semi-eixos: a=2/21, b=1/raiz21; eixos totais 2a=4/21, 2b=2/raiz21. Latus rectum de comprimento 1. Diretriz principal x=1/5. Equação cartesiana
21x^2 - 4y^2 -10x +1 = 0

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