Em cada caso, identifique a cônica
, determine o comprimento do latus rectum, dos eixos, a posição dos focos, vértices e da diretriz. Determine a equação cartesiana de
e faça um esboço da curva no plano.
,
Passo 1
O enunciado nos dá a cônica em coordenadas polares pela equação
. O conteúdo é estudo de cônicas em coordenadas polares, onde precisamos reconhecer a forma padrão
e extrair o valor da excentricidade
e da distância da diretriz ao foco
.
Passo 2
Isolando
temos
Daí vemos
e
, logo
.
Passo 3
Como
, trata-se de uma hipérbole com foco em O(0,0). O eixo principal é o eixo
(devido ao
) e a diretriz associada a este ramo é a reta vertical
Passo 4
Os vértices são as interseções com o eixo principal (
e
). Para
:
Para
:
o que em coordenadas cartesianas dá
.
Passo 5
O centro
da hipérbole é o ponto médio de
:
O semi-eixo transverso é
e a excentricidade já sabemos
, então o semi-eixo conjugado
Passo 6
O comprimento dos eixos é
O comprimento do latus rectum (focal) em qualquer hipérbole é
Passo 7
Os focos são simétricos em relação ao centro. Já temos um foco em O(0,0); o outro foco
fica a distância
sobre o eixo:\npara hipérbole
, então
Passo 8
A equação cartesiana completa sai de substituir
e
em
e simplificar:
Passo 9
No plano, o esboço é uma hipérbole centrada em
, com vértices em
e
, focos em
e
, e diretriz
. Cada ramo abre para a esquerda e para a direita ao longo do eixo
.
Resposta
A cônica é uma hipérbole com excentricidade
. Foco em O(0,0), segunda foco em
, vértices em
e
, centro em
. Semi-eixos:
,
; eixos totais
,
. Latus rectum de comprimento
. Diretriz principal
. Equação cartesiana