Em cada item, determine uma equação polar para a cônica C, determinando o comprimento do semi-latus rectum e faça um esboço da curva no plano.
C: x y+x+y=0.

Passo 1

O enunciado dá a cônica C definida por xy + x + y = 0. O objetivo é achar uma equação polar (polo na origem), determinar o comprimento do semi-latus rectum e esboçar a curva.

Passo 2

Fazendo a troca de variáveis X = x + 1 e Y = y + 1, reescrevemos a equação como
(x+1)(y+1)=1
o que dá
X,Y=1
Essa é a hipérbole retangular padrão com centro na origem (em X–Y), pois XY = c^2 com c=1.

Passo 3

Para essa hipérbole retangular XY=1 definimos novas coordenadas ortogonais u=(X+Y)/√2 e v=(X−Y)/√2. Em (u,v) a equação vira
u^2- v^2=2
Logo a=b=√2, de onde a excentricidade é e=√2 e o semi-latus rectum fica
p=b^2a=(raiz2)^2raiz2=raiz2

Passo 4

Voltando a (x,y) e passando a coordenadas polares x=r\cosθ, y=r\sinθ, substituímos em xy+x+y=0:
r^2cosθsinθ + r(cosθ+sinθ)=0
Ignorando a solução trivial r=0, isolamos r:
r=-cosθ+sinθcosθ,sinθ
Essa é a equação polar da cônica.

Passo 5

Para esboçar notamos que o centro original é (-1,-1), com assíntotas x=-1 e y=-1, e vértices em (0,0) e (-2,-2). A curva tem duas ramas: uma passa pela origem e outra em direção à região x<−1, y<−1.

Resposta

Equação polar: r=-cosθ+sinθcosθ,sinθ, semi-latus rectum p=raiz2. Esboço: hipérbole com centro em (-1,-1), assíntotas x=-1 e y=-1, rama principal passando pelo (0,0).

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