20.20 Cada número abaixo é uma raiz de uma equação polinomial com coeficientes reais. Que outro número também é raiz?
(a) 2 i,
(b) -3 pm 2 i,
(c) -3-i raiz2

SOLUÇÃO

(a) -2 i,
(b) -3-2 i,
(c) -3+i raiz2

Passo 1

O enunciado pede o seguinte: cada número dado é raiz de um polinômio com coeficientes reais. Precisamos descobrir outro número que também seja raiz. O conteúdo envolvido é o teorema das raízes complexas conjugadas.

Passo 2

Quando um polinômio tem coeficientes reais e um número complexo a+bi é raiz, então seu conjugado a-bi também é raiz. Isso acontece porque, se f(a+bi)=0, basta tomar conjugado dos dois lados e usar que os coeficientes são reais para obter f(a-bi)=0.

Passo 3

No caso (a), a raiz dada é 2i, que equivale a 0+2i. O conjugado desse número é 0-2i, ou seja, -2i.

Passo 4

No caso (b), a raiz fornecida é -3+2i. O conjugado desse número é -3-2i.

Passo 5

No caso (c), a raiz fornecida é -3 - iraiz2. O seu conjugado é -3 + iraiz2.

Resposta

(a) -2i; (b) -3-2i; (c) -3 + iraiz2

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