Encontre as cotas inferior e superior para as raízes reais de cada equação.
x^3-3 x^2+2 x-4=0

Passo 1

O enunciado pede cotas inferior e superior para as raízes reais da equação
x^3-3x^2+2x-4=0
O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Valor Intermediário (sinais de f(a), f(b)) combinado com o fato de que, para x suficientemente grande, um polinômio de grau ímpar tende a +infty quando xto+infty e a -infty quando xto-infty. Também vamos usar que f'(x)=3x^2-6x+2>0 para x>=1,577, garantindo que f é estritamente crescente a partir desse ponto.

Passo 2

Calcular f(2) e f(3):
f(2)=2^3-3cdot2^2+2cdot2-4=8-12+4-4=-4<0,
f(3)=3^3-3cdot3^2+2cdot3-4=27-27+6-4=2>0
Como f(2) e f(3) têm sinais opostos, por Bolzano existe pelo menos uma raiz real em (2,3).

Passo 3

Mostramos que f'(x)=3x^2-6x+2 tem raízes
x=6pmraiz36-246=6pm2raiz36approx0,422;e;1,577,
e que para x>=1,577 vale f'(x)>0. Logo, em [2,3] a função é estritamente crescente, garantindo exatamente uma raiz nesse intervalo.

Passo 4

Portanto as cotas para a única raiz real são
cota inferior =2
e
cota superior =3.

Resposta

Cota inferior: 2
Cota superior: 3

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