Calcule a integral:
32 \int 5^{-5 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
32 \int 5^{-5x}\,dx.
Este é um caso de integral de função exponencial de base 5. Vamos usar a regra
\int a^{u}\,du = \frac{a^{u}}{\ln(a)},
ajustando o coeficiente que acompanha x.

Passo 2

Separe a constante e concentre-se em
\int 5^{-5x}\,dx.
Para isso, faça a substituição u = -5x, de modo que du = -5\,dx e
dx = \frac{du}{-5}.

Passo 3

Substituindo u e dx na integral, obtemos
\int 5^{-5x}\,dx = \int 5^{u}\,\frac{du}{-5} = -\frac{1}{5}\int 5^{u}\,du.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da integral da exponencial:
\int 5^{u}\,du = \frac{5^{u}}{\ln(5)}.
Logo
-\frac{1}{5}\int 5^{u}\,du = -\frac{1}{5}\,\frac{5^{u}}{\ln(5)} = -\frac{5^{u}}{5\,\ln(5)}.

Passo 5

Voltando à variável original u = -5x, temos
\int 5^{-5x}\,dx = -\frac{5^{-5x}}{5\,\ln(5)}.

Passo 6

Finalmente, multiplique pelo fator 32:
32 \int 5^{-5x}\,dx = 32 \cdot \Bigl(-\frac{5^{-5x}}{5\,\ln(5)}\Bigr) = -\frac{32}{5\,\ln(5)}\,5^{-5x}.

Resposta

-\frac{32}{5\,\ln(5)}\,5^{-5x} + C

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