Calcule a integral:
30 (a) \int 2^{3 x-1} d x
(b) \int_{-1}^{1} 2^{3 x-1} d x

Passo 1

O enunciado nos pede as integrais de uma função exponencial de base 2 com argumento linear. O conteúdo aqui é integração por substituição e a fórmula básica para exponenciais:
\int a^{u}\,du = \frac{a^{u}}{\ln(a)} + C.

Passo 2

Para calcular a primitiva \int 2^{3x-1}dx, fazemos a substituição u = 3x - 1, logo du = 3\,dx e dx = \tfrac{du}{3}. Assim,
\int 2^{3x-1}dx = \int 2^{u}\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int 2^{u}du = \frac{1}{3}\,\frac{2^{u}}{\ln 2} + C = \frac{2^{3x-1}}{3\ln 2} + C.

Passo 3

Para a integral definida \int_{-1}^{1}2^{3x-1}dx, usamos a primitiva F(x)=\tfrac{2^{3x-1}}{3\ln 2} e avaliamos
F(1)-F(-1) = \frac{2^{2}}{3\ln 2} \;-\;\frac{2^{-4}}{3\ln 2} = \frac{1}{3\ln 2}\Bigl(4 - \tfrac{1}{16}\Bigr) = \frac{63}{48\ln 2} = \frac{21}{16\ln 2}.

Resposta

(a) \displaystyle\frac{2^{3x-1}}{3\ln 2} + C
(b) \displaystyle\frac{21}{16\ln 2}

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