Calcule a integral.
31 \int \frac{1}{\operatorname{cosh} ^{2} 3 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de
31 \int \frac{1}{\operatorname{cosh}^{2}(3x)}\,dx
ou seja, integrar uma função do tipo \sech^{2}(3x) multiplicada por uma constante.

Passo 2

Retiramos o fator 31 para fora da integral e fazemos a substituição
u = 3x,\quad du = 3\,dx \;\Longrightarrow\; dx = \frac{du}{3}.
Assim,
31 \int \frac{1}{\operatorname{cosh}^{2}(3x)}\,dx = 31 \int \sech^{2}(u)\,\frac{du}{3} = \frac{31}{3}\int \sech^{2}(u)\,du.

Passo 3

Lembrando que
\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{tanh}(u)\bigr)=\sech^{2}(u),
temos
\int \sech^{2}(u)\,du = \operatorname{tanh}(u) + C.
Logo,
\frac{31}{3}\int \sech^{2}(u)\,du = \frac{31}{3}\,\operatorname{tanh}(u) + C = \frac{31}{3}\,\operatorname{tanh}(3x) + C.

Resposta

\frac{31}{3}\,\operatorname{tanh}(3x) + C.

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