Calcule a integral.
27 \int x^{2} \operatorname{cosh} \left(x^{3}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
27\int x^{2}\operatorname{cosh}\bigl(x^{3}\bigr)\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por substituição, pois vemos que dentro do cosseno hiperbólico aparece x^{3} e fora temos x^{2}dx, que é quase a derivada de x^{3}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{3},
de modo que
du = 3x^{2}\,dx.

Passo 3

Isolamos x^{2}dx em termos de du:
x^{2}\,dx = \frac{du}{3}.
Substituindo na integral original:
27\int x^{2}\operatorname{cosh}\bigl(x^{3}\bigr)\,dx =27\int \operatorname{cosh}(u)\,\frac{du}{3} =9\int \operatorname{cosh}(u)\,du.

Passo 4

Sabendo que
\frac{d}{du}\bigl[\operatorname{sinh}(u)\bigr]=\operatorname{cosh}(u),
temos
9\int \operatorname{cosh}(u)\,du = 9\,\operatorname{sinh}(u) + C.

Passo 5

Voltando à variável x pela relação u=x^{3}, obtemos a primitiva desejada:
9\,\operatorname{sinh}\bigl(x^{3}\bigr)+C.

Resposta

A integral vale
9\operatorname{sinh}\bigl(x^{3}\bigr) + C.

Exercícios de Livros Relacionados