Calcule a integral.
30 \int x \operatorname{senh}\left(2 x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de
30 \int x\,\operatorname{sinh}\bigl(2x^{2}\bigr)\,dx.
O conteúdo que vamos usar é o método de substituição, pois dentro da função hiperbólica temos 2x^{2} e seu derivado aparece multiplicando.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2x^{2}
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du = 4x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{4}.

Passo 3

Reescrevemos a integral em termos de u:
30 \int x\,\operatorname{sinh}\bigl(2x^{2}\bigr)\,dx = 30 \int \operatorname{sinh}(u)\,\frac{du}{4} = \frac{30}{4} \int \operatorname{sinh}(u)\,du.

Passo 4

Sabemos que
\int \operatorname{sinh}(u)\,du = \operatorname{cosh}(u) + C.
Portanto
\frac{30}{4} \int \operatorname{sinh}(u)\,du = \frac{30}{4}\,\operatorname{cosh}(u) + C.

Passo 5

Voltando à variável original x com u=2x^{2} e simplificando \tfrac{30}{4}=\tfrac{15}{2}, obtemos
\frac{15}{2}\,\operatorname{cosh}\bigl(2x^{2}\bigr) + C.

Resposta

\frac{15}{2}\,\operatorname{cosh}\bigl(2x^{2}\bigr) + C

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