Determine f’(x) para f(x) dada.
21 \operatorname{coth} \ln x

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função
f(x) = 21 \,\operatorname{coth}(\ln x),
e queremos encontrar sua derivada f'(x). Para isso vamos usar a regra da cadeia e a derivada da função hiperbólica \operatorname{coth}u.

Passo 2

Definimos u = \ln x. Assim
f(x) = 21\,\operatorname{coth}(u).
Pela regra da cadeia,
f'(x) = 21\;\frac{d}{du}\bigl[\operatorname{coth}(u)\bigr]\;\frac{du}{dx}.

Passo 3

Sabemos que
\frac{d}{du}\bigl[\operatorname{coth}(u)\bigr] = -\operatorname{csch}^2(u) \quad\text{e}\quad \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}.
Logo,
f'(x) = 21 \,\bigl(-\operatorname{csch}^2(u)\bigr)\,\frac{1}{x}.

Passo 4

Substituindo de volta u = \ln x, fica
f'(x) = -\,\frac{21}{x}\;\operatorname{csch}^2\bigl(\ln x\bigr).

Resposta

f'(x) = -\frac{21}{x}\,\operatorname{csch}^2\bigl(\ln x\bigr).

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