Calcule a integral:
17 \int \frac{x}{\sqrt[3]{1-2 x^{2}}} d x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
17 \int \frac{x}{\sqrt[3]{1-2x^{2}}}\,dx.
O conteúdo é integração por substituição: reconhecemos uma função composta (1-2x^2)^{-1/3} cujo argumento tem derivada proporcional a x. Vamos usar a substituição adequada.

Passo 2

Fazendo
u = 1 - 2x^{2},
temos
du = -4x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = -\tfrac{1}{4}\,du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
17\int x\,(1-2x^{2})^{-1/3}\,dx = 17\int u^{-1/3}\Bigl(-\tfrac14\,du\Bigr) = -\tfrac{17}{4}\int u^{-1/3}\,du.

Passo 4

Agora integramos
\int u^{-1/3}\,du = \frac{u^{2/3}}{2/3} = \frac{3}{2}\,u^{2/3}.
Logo
-\tfrac{17}{4}\int u^{-1/3}\,du = -\tfrac{17}{4}\cdot \frac{3}{2}\,u^{2/3} + C = -\tfrac{51}{8}\,u^{2/3} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, temos u^{2/3}=(1-2x^{2})^{2/3}. Portanto o resultado é
-\frac{51}{8}\,(1-2x^{2})^{2/3} + C.

Resposta

-\frac{51}{8}\,(1-2x^{2})^{2/3} + C.

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