Calcule f^{\prime}(x) para f(x) dada.
f(x) = 16 \ln \log x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=16\,\ln\bigl(\log x\bigr).
Aqui usamos a regra da cadeia para compor a função externa g(u)=\ln u com a interna u(x)=\log x. Além disso precisamos lembrar que, para logaritmo de base 10,
\frac{d}{dx}\bigl(\log x\bigr)=\frac{1}{x\,\ln 10}.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia, escrevemos
f'(x) =16\;\frac{d}{dx}\Bigl[\ln\bigl(\log x\bigr)\Bigr] =16\;\frac{1}{\log x}\;\frac{d}{dx}\bigl(\log x\bigr).

Passo 3

Substituímos a derivada de \log x, que é
\frac{d}{dx}\bigl(\log x\bigr)=\frac{1}{x\,\ln 10}.
Logo
f'(x) =16\;\frac{1}{\log x}\;\frac{1}{x\,\ln 10}.

Passo 4

Bast a simplificar:
f'(x) =\frac{16}{x\,\ln 10\;\log x}.

Resposta

f'(x)=\frac{16}{x\,\ln 10\;\log x}.

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