Calcule f^{\prime}(x) para f(x) dada.
f(x) = x^{\left(x^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=x^{\left(x^{2}\right)}.
Isso envolve uma função em que tanto a base quanto o expoente dependem de x, então vamos usar a técnica de log-diferenciação.

Passo 2

Antes de tudo, observe o domínio: para que x^{x^2} esteja bem definida no contexto real, precisamos de x>0. A partir de agora, assumimos x>0.

Passo 3

Definimos
y = f(x) = x^{x^2}
e tomamos logaritmo natural dos dois lados:
\ln y = \ln\bigl(x^{x^2}\bigr).
Usando \ln(a^b)=b\ln a, obtemos
\ln y = x^2\ln x.

Passo 4

Agora derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo, por regra da cadeia:
\frac{d}{dx}(\ln y) = \frac{y'}{y}.
No lado direito, é um produto x^2\ln x, então
\frac{d}{dx}\bigl(x^2\ln x\bigr) = 2x\ln x + x^2\cdot\frac{1}{x} = 2x\ln x + x.
Logo
\frac{y'}{y} = 2x\ln x + x.

Passo 5

Isolando y' e lembrando que y=x^{x^2}, temos
y' = y\,(2x\ln x + x) = x^{x^2}\,(2x\ln x + x).
Fatorando x:
y' = x^{x^2}\,x\,(2\ln x + 1) = x^{\,x^2+1}\,(2\ln x + 1).

Resposta

f'(x)=x^{x^2}\,(2x\ln x + x) \quad\text{ou}\quad f'(x)=x^{\,x^2+1}\,(2\ln x + 1),
para x>0.

Exercícios de Livros Relacionados