Calcule
para
dada.
Passo 1
O enunciado pede a derivada de
Isso envolve uma função em que tanto a base quanto o expoente dependem de
, então vamos usar a técnica de log-diferenciação.
Passo 2
Antes de tudo, observe o domínio: para que
esteja bem definida no contexto real, precisamos de
. A partir de agora, assumimos
.
Passo 3
Definimos
e tomamos logaritmo natural dos dois lados:
Usando
, obtemos
Passo 4
Agora derivamos ambos os lados em relação a
. No lado esquerdo, por regra da cadeia:
No lado direito, é um produto
, então
Logo
Passo 5
Isolando
e lembrando que
, temos
Fatorando
:
Resposta
para
.