Calcule a integral.
38 \int \operatorname{coth} 6 x \operatorname{csch} 6 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
38 \int \coth(6x)\,\csch(6x)\,dx.
O conteúdo aqui é integração de funções hiperbólicas e vamos precisar usar a derivada de \csch(6x).

Passo 2

Defina
u = \csch(6x).
Como \frac{d}{dx}\bigl(\csch(6x)\bigr) = -6\,\csch(6x)\,\coth(6x), temos
du = -6\,\csch(6x)\,\coth(6x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \csch(6x)\,\coth(6x)\,dx = -\tfrac{1}{6}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral:
38 \int \coth(6x)\,\csch(6x)\,dx = 38 \int \Bigl(-\tfrac{1}{6}\,du\Bigr) = -\tfrac{38}{6}\int du = -\tfrac{19}{3}\,u + C.

Passo 4

Volta à variável x:
-\tfrac{19}{3}\,u + C = -\tfrac{19}{3}\,\csch(6x) + C.

Resposta

-\frac{19}{3}\,\csch(6x) + C.

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