48 Esboce o gráfico de
e mostre que, quando
varia, o ponto
descreve a parte do gráfico nos quadrantes I e IV.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o gráfico da curva
e mostrar que, variando
, o ponto
recobre exatamente a porção dessa curva que fica nos quadrantes I e IV. O conteúdo aqui é a hipérbole e a parametrização por funções hiperbólicas, usando o fato de que
Passo 2
Para esboçar a hipérbole
note que:
Isto dá dois ramos simétricos em relação ao eixo
: um ramo à direita
e outro à esquerda
. As assíntotas são dadas por
quando
. No esboço desenhamos o ramo direito que ocupa quadrantes I (onde
) e IV (onde
).
Passo 3
Propondo a parametrização
verificamos diretamente na equação da hipérbole:
Logo cada ponto
pertence à curva
.
Passo 4
Faltam duas confirmações:
- Cobertura do ramo direito: para todo
, , então , ficando no ramo . - Quadrantes I e IV: como
se e somente se , os pontos com caem no quadrante I; e se e somente se , correspondendo ao quadrante IV. Em temos , o ponto de vértice.
Resposta
O gráfico de
é uma hipérbole centrada na origem, com assíntotas
. A parametrização
satisfaz
, tem
(ramo direito) e distingue
(
, quadrante I) de
(
, quadrante IV). Dessa forma,
descreve exatamente a parte do gráfico nos quadrantes I e IV.