48 Esboce o gráfico de x^{2}-y^{2}=1 e mostre que, quando t varia, o ponto P(\operatorname{cosh} t, \operatorname{senh} t) descreve a parte do gráfico nos quadrantes I e IV.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o gráfico da curva
x^{2}-y^{2}=1
e mostrar que, variando t\in\mathbb{R}, o ponto
P\bigl(\operatorname{cosh} t,\operatorname{sinh} t\bigr)
recobre exatamente a porção dessa curva que fica nos quadrantes I e IV. O conteúdo aqui é a hipérbole e a parametrização por funções hiperbólicas, usando o fato de que
\operatorname{cosh}^{2}t-\operatorname{sinh}^{2}t=1.

Passo 2

Para esboçar a hipérbole x^{2}-y^{2}=1 note que:
x^{2}=1+y^{2}\implies x=\pm\sqrt{1+y^{2}}.
Isto dá dois ramos simétricos em relação ao eixo y: um ramo à direita x\ge1 e outro à esquerda x\le-1. As assíntotas são dadas por y=\pm x quando |x|\to\infty. No esboço desenhamos o ramo direito que ocupa quadrantes I (onde y>0) e IV (onde y<0).

Passo 3

Propondo a parametrização
x=\operatorname{cosh} t,\quad y=\operatorname{sinh} t,\quad t\in\mathbb{R},
verificamos diretamente na equação da hipérbole:
x^{2}-y^{2} =\operatorname{cosh}^{2}t-\operatorname{sinh}^{2}t =1.
Logo cada ponto \bigl(\operatorname{cosh} t,\operatorname{sinh} t\bigr) pertence à curva x^{2}-y^{2}=1.

Passo 4

Faltam duas confirmações:
  1. Cobertura do ramo direito: para todo t, \operatorname{cosh} t\ge1, então x=\operatorname{cosh} t\ge1, ficando no ramo x\ge1.
  2. Quadrantes I e IV: como \operatorname{sinh} t>0 se e somente se t>0, os pontos com t>0 caem no quadrante I; e \operatorname{sinh} t<0 se e somente se t<0, correspondendo ao quadrante IV. Em t=0 temos P(1,0), o ponto de vértice.

Resposta

O gráfico de x^{2}-y^{2}=1 é uma hipérbole centrada na origem, com assíntotas y=\pm x. A parametrização
P\bigl(\operatorname{cosh} t,\operatorname{sinh} t\bigr),\quad t\in\mathbb{R},
satisfaz \operatorname{cosh}^{2}t-\operatorname{sinh}^{2}t=1, tem \operatorname{cosh} t\ge1 (ramo direito) e distingue \operatorname{sinh} t>0 ( t>0, quadrante I) de \operatorname{sinh} t<0 ( t<0, quadrante IV). Dessa forma, P descreve exatamente a parte do gráfico nos quadrantes I e IV.

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