Calcule f^{\prime}(x) para f(x) dada.
f(x) = 18 x^{\pi} \pi^{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=18\,x^{\pi}\,\pi^{x}.
O conteúdo principal aqui é a derivação de uma função em que a variável aparece tanto na base quanto no expoente. A estratégia mais simples é usar diferenciação logarítmica.

Passo 2

Definimos
g(x)=x^{\pi}\,\pi^{x},
de modo que
f(x)=18\,g(x)
e, por consequência,
f'(x)=18\,g'(x).

Passo 3

Aplicamos o logaritmo natural em g(x). Temos
\ln g(x)=\ln\bigl(x^{\pi}\bigr)+\ln\bigl(\pi^{x}\bigr) =\pi\,\ln x + x\,\ln\pi.

Passo 4

Derivando ambos os lados em relação a x, obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(\ln g(x)\bigr) =\frac{g'(x)}{g(x)} =\frac{\pi}{x}+\ln\pi.

Passo 5

Isolando g'(x), fica
g'(x)=g(x)\Bigl(\frac{\pi}{x}+\ln\pi\Bigr) =x^{\pi}\,\pi^{x}\Bigl(\frac{\pi}{x}+\ln\pi\Bigr).

Passo 6

Retornando a f'(x), multiplicamos por 18:
f'(x)=18\,g'(x) =18\,x^{\pi}\,\pi^{x}\Bigl(\frac{\pi}{x}+\ln\pi\Bigr).

Resposta

f'(x)=18\,x^{\pi}\,\pi^{x}\Bigl(\frac{\pi}{x}+\ln\pi\Bigr).

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