Calcule f^{\prime}(x) para f(x) dada.
\mathbf{f(x) = 24}(\cos 2 x)^{\boldsymbol{x}}

Passo 1

O enunciado dá
f(x)=24\bigl(\cos2x\bigr)^{x},
e pede f'(x). O conteúdo aqui é derivação de função com expoente e base que dependem de x, então vamos usar log-diferenciação (escrever como exponencial e aplicar regra da cadeia).

Passo 2

Reescrevemos f(x) como exponencial:
f(x)=24\,e^{\,x\ln(\cos2x)}.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia,
f'(x) =24\,e^{\,x\ln(\cos2x)}\cdot\frac{d}{dx}\bigl[x\ln(\cos2x)\bigr].

Passo 4

Calculamos a derivada do expoente:
\frac{d}{dx}\bigl[x\ln(\cos2x)\bigr] =\ln(\cos2x) +x\cdot\frac{1}{\cos2x}\cdot\frac{d}{dx}[\cos2x].
Como \frac{d}{dx}[\cos2x]=-2\sin2x, segue
\frac{d}{dx}\bigl[x\ln(\cos2x)\bigr] =\ln(\cos2x)-2x\frac{\sin2x}{\cos2x} =\ln(\cos2x)-2x\tan2x.

Passo 5

Substituindo de volta em f'(x):
f'(x) =24\,e^{\,x\ln(\cos2x)} \bigl[\ln(\cos2x)-2x\tan2x\bigr] =24\bigl(\cos2x\bigr)^{x}\bigl[\ln(\cos2x)-2x\tan2x\bigr].

Resposta

f'(x)=24\bigl(\cos2x\bigr)^{x}\bigl[\ln(\cos2x)-2x\tan2x\bigr].

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