Quando um certo número de três dígitos é dividido pelo número formado pela inversão dos dígitos, o quociente é 2 e o resto 25 . O dígito das dezenas é 1 a menos que o dobro da soma do dígito das centenas com o das unidade. Se o dígito das unidades for subtraído do dígito das dezenas, o resultado é o dobro do dígito das centenas. Encontre o número.

Passo 1

O enunciado pede um número de três dígitos cujos algarismos são a (centenas), b (dezenas) e c (unidades). Logo, o número é
N = 100a + 10b + c
e o número formado pela inversão dos dígitos é
R = 100c + 10b + a
Vamos usar a relação de divisão com quociente e resto e as outras duas condições algébricas para montar um sistema em a,b,c.

Passo 2

Da divisão de N por R com quociente 2 e resto 25 segue
100a + 10b + c ;=; 2,(100c + 10b + a) + 25
Expanda e agrupe termos semelhantes para obter
98a ;-;10b ;-;199c ;=; 25

Passo 3

A condição “o dígito das dezenas é 1 a menos que o dobro da soma de centenas e unidades” vira
b ;=; 2,(a + c) - 1,
e a condição “ b menos c é o dobro de a” dá
b - c = 2a Longrightarrow b = 2a + c
Igualando as duas expressões de b:
2a + c = 2(a + c) - 1 ;Longrightarrow; c = 1,
e então
b = 2a + 1

Passo 4

Substitua c=1 e b=2a+1 na equação
98a - 10b - 199c = 25
98a - 10(2a + 1) - 199cdot1 = 25
98a - 20a - 10 - 199 = 25
78a = 234 Longrightarrow a = 3
Logo
b = 2cdot3 + 1 = 7, c = 1

Passo 5

O número é
N = 100cdot3 + 10cdot7 + 1 = 371
Verificação rápida: o invertido é 173 e
2times173 + 25 = 346 + 25 = 371,
confirmando a divisão.

Resposta

371

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