Seja a in M(m times n) uma matriz de posto máximo que admite uma decomposição do tipo a=l u^prime, onde l in M(m times m) é triangular inferior, com elementos da diagonal todos iguais a 1 , e u^prime in M(m times n) é escalonada. Prove que existem uma matriz diagonal invertível d in M(m times m) e uma matriz escalonada u in M(m times n), com pivôs todos igual a 1 , tais que a=l d u.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz A de tamanho mtimes n e posto máximo (logo posto m), que já foi fatorada como
A = L;U',
onde Lin M(mtimes m) é triangular inferior com uns na diagonal (matriz unitária na diagonal) e U'in M(mtimes n) está em forma escalonada. O que queremos mostrar é que dá pra separar essa escalação em duas partes: uma matriz diagonal invertível D e uma nova matriz escalonada U cujos pivôs sejam todos iguais a 1, mantendo
A = L;D;U
Para isso vamos usar a ideia de normalizar cada pivô de U' dividindo a linha correspondente por esse valor.

Passo 2

Como U' está em forma escalonada e o posto de A (logo de U') é m, cada linha i=1,2,dots,m de U' tem um pivô não zero, digamos na coluna ci. Definimos então a matriz diagonal invertível Din M(mtimes m) cujos elementos na diagonal são exatamente esses pivôs:
D = diag(d11,d22,dots,dmm),
onde
dii = U'i,ci neq 0
Como cada dii é não nulo, D é invertível.

Passo 3

Agora definimos uma nova matriz U como
U = D^-1 ,U'
Observe que multiplicar U' por D^-1 à esquerda equivale a dividir cada linha i de U' por dii. Isso não altera o padrão escalonado (colunas de zeros à esquerda mantêm-se) e faz com que o pivô de cada linha fique igual a
U'i,cidii = 1
Logo, U é escalonada com todos os pivôs iguais a 1.

Passo 4

Bastou então notar que
A = L;U' = L;(D;U) = (L;D);U
Mas o enunciado pedia um L (o mesmo triangular inferior unitário original), um D diagonal invertível e um U escalonada com pivôs 1 tais que
A = L;D;U
Como L já era unitária na diagonal, não fizemos nenhuma alteração em L. O produto fica exatamente na forma desejada.

Resposta

Definindo
D=diag(U'1,c1,dots,U'm,cm),
com cada U'i,ci sendo o pivô da linha i de U', e
U=D^-1U',
usamos que
A=LU'=L(DU)=LDU,
o que mostra que existe matriz diagonal invertível D e escalonada U (com pivôs iguais a 1) tais que A=LDU.

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