Seja
uma matriz de posto máximo que admite uma decomposição do tipo
, onde
é triangular inferior, com elementos da diagonal todos iguais a 1 , e
é escalonada. Prove que existem uma matriz diagonal invertível
e uma matriz escalonada
, com pivôs todos igual a 1 , tais que
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma matriz
de tamanho
e posto máximo (logo posto
), que já foi fatorada como
onde
é triangular inferior com uns na diagonal (matriz unitária na diagonal) e
está em forma escalonada. O que queremos mostrar é que dá pra separar essa escalação em duas partes: uma matriz diagonal invertível
e uma nova matriz escalonada
cujos pivôs sejam todos iguais a 1, mantendo
Para isso vamos usar a ideia de normalizar cada pivô de
dividindo a linha correspondente por esse valor.
Passo 2
Como
está em forma escalonada e o posto de
(logo de
) é
, cada linha
de
tem um pivô não zero, digamos na coluna
. Definimos então a matriz diagonal invertível
cujos elementos na diagonal são exatamente esses pivôs:
onde
Como cada
é não nulo,
é invertível.
Passo 3
Agora definimos uma nova matriz
como
Observe que multiplicar
por
à esquerda equivale a dividir cada linha
de
por
. Isso não altera o padrão escalonado (colunas de zeros à esquerda mantêm-se) e faz com que o pivô de cada linha fique igual a
Logo,
é escalonada com todos os pivôs iguais a 1.
Passo 4
Bastou então notar que
Mas o enunciado pedia um
(o mesmo triangular inferior unitário original), um
diagonal invertível e um
escalonada com pivôs 1 tais que
Como
já era unitária na diagonal, não fizemos nenhuma alteração em
. O produto fica exatamente na forma desejada.
Resposta
Definindo
com cada
sendo o pivô da linha
de
, e
usamos que
o que mostra que existe matriz diagonal invertível
e escalonada
(com pivôs iguais a 1) tais que
.