Considere o triângulo cujos lados estão nas retas 2 x-3 y=0, x+y-5=0 e x+6 y= =0.
a) Determinar os vértices do triângulo
b) Determinar os valores de y para os quais o ponto P(3, y) está no interior do triângulo.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre o triângulo cujos lados estão nas retas
L1:2x-3y=0, L2:x+y-5=0, L3:x+6y=0
(a) Encontrar os vértices, isto é, as interseções de cada par de retas.
(b) Determinar os valores de y para que o ponto P(3,y) fique no interior do triângulo.
Conteúdo usado: geometria analítica (interseção de retas e semiplanos).

Passo 2

Resolver as interseções de cada par de retas:
Da primeira vem .
  1. e :
Da segunda .
  1. e :
Da primeira .

Passo 3

Para identificar o interior do triângulo, escolhemos um ponto seguro dentro dele: o baricentro
Gl(tfrac3+6+03,;tfrac2+(-1)+03r)=(3,tfrac13)
Esse ponto serve para determinar de que lado de cada reta está o interior.

Passo 4

Cada reta ax+by+c=0 define dois semiplanos. Avaliamos o sinal de ax+by+c em G e tomamos o mesmo sinal para o interior:
  1. Em L1:2x-3y=0,
2cdot3-3cdottfrac13=6-1=5>0,
logo interior é
2x-3y>0Long<=ftrightarrow y<tfrac23x
  1. Em L2:x+y-5=0,
3+tfrac13-5=-tfrac113<0,
logo interior é
x+y-5<0Long<=ftrightarrow y<5-x
  1. Em L3:x+6y=0,
3+6cdottfrac13=3+2=5>0,
logo interior é
x+6y>0Long<=ftrightarrow y>-tfrac x6

Passo 5

Para o ponto P(3,y) basta pôr x=3 nas três desigualdades:
y<tfrac23cdot3=2, y<5-3=2, y>-tfrac36=-tfrac12
Combinação final (interior, estrito) é
-tfrac12<y<2

Resposta

(a) Os vértices são
A=(3,2), B=(6,-1) e C=(0,0).
(b) O ponto P(3,y) está no interior se
-tfrac12<y<2

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