Construa a equação de menor grau possível com coeficientes inteiros que possuem as seguintes raízes:
i / 2,6 / 5

Passo 1

O enunciado pede para achar o polinômio de menor grau possível, com coeficientes inteiros, que tenha como raízes tfraci2 e tfrac65. O conteúdo principal aqui é perceber que, para termos coeficientes inteiros e uma raiz complexa, devemos incluir também sua conjugada, e depois montar o polinômio a partir dos fatores lineares correspondentes.

Passo 2

Como tfraci2 é não real e queremos coeficientes inteiros, precisamos incluir a raiz conjugada -tfraci2. Assim, as raízes são
x = i2, x = -i2, x = 65

Passo 3

Escrevemos o polinômio na forma fatorada:
l(x - tfraci2r)l(x + tfraci2r)l(x - tfrac65r)
Os dois primeiros fatores multiplicam para
(x - tfraci2)(x + tfraci2) = x^2 + l(tfraci2r)^2 = x^2 + tfrac14

Passo 4

Agora multiplicamos (x^2 + tfrac14)(x - tfrac65). Fazendo a distribuição,
x^3 - 65x^2 + 14x - 620 = x^3 - 65x^2 + 14x - 310

Passo 5

Para obter coeficientes inteiros, basta multiplicar tudo por 20 (o mínimo múltiplo comum dos denominadores 5, 4 e 10):
20l(x^3 - tfrac65x^2 + tfrac14x - tfrac310r) = 20x^3 - 24x^2 + 5x - 6

Resposta

A equação procurada é
20x^3 - 24x^2 + 5x - 6 = 0

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