Construa a equação de menor grau possível com coeficientes inteiros que possuem as seguintes raízes:
Passo 1
O enunciado pede para achar o polinômio de menor grau possível, com coeficientes inteiros, que tenha como raízes
e
. O conteúdo principal aqui é perceber que, para termos coeficientes inteiros e uma raiz complexa, devemos incluir também sua conjugada, e depois montar o polinômio a partir dos fatores lineares correspondentes.
Passo 2
Como
é não real e queremos coeficientes inteiros, precisamos incluir a raiz conjugada
. Assim, as raízes são
Passo 3
Escrevemos o polinômio na forma fatorada:
Os dois primeiros fatores multiplicam para
Passo 4
Agora multiplicamos
. Fazendo a distribuição,
Passo 5
Para obter coeficientes inteiros, basta multiplicar tudo por
(o mínimo múltiplo comum dos denominadores
,
e
):
Resposta
A equação procurada é