Empregando a Regra de Sinais de Descartes,o que podemos concluir sobre o número de raízes positivas.negati- vas e complexas das equações abaixo?
2 x^4+7 x^2+6=0

Passo 1

O enunciado pede para usar a Regra de Sinais de Descartes a fim de determinar quantas raízes positivas, negativas e complexas tem a equação 2x^4 + 7x^2 + 6 = 0. Vamos lembrar que pela Regra de Descartes o número de raízes reais positivas é igual ou menor que o número de mudanças de sinal em f(x), e o número de raízes reais negativas é igual ou menor que o número de mudanças de sinal em f(-x), diminuído de um valor par.

Passo 2

Analisando f(x)=2x^4+7x^2+6, todos os coeficientes são positivos, logo não há nenhuma mudança de sinal entre termos consecutivos. Pelo Regra de Descartes, o número de raízes reais positivas é zero.

Passo 3

Para f(-x)=2x^4+7x^2+6 ocorre exatamente o mesmo, pois os expoentes são pares e os coeficientes continuam todos positivos. Logo não há mudança de sinal e o número de raízes reais negativas também é zero.

Passo 4

Pela Teoria Fundamental da Álgebra, uma equação de grau 4 tem exatamente 4 raízes (contando multiplicidades) no conjunto dos complexos. Já que não há raízes reais positivas nem negativas, todas as 4 raízes devem ser complexas não reais.

Resposta

Não existem raízes positivas nem negativas; as 4 raízes são complexas não reais.

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