Empregando a Regra de Sinais de Descartes,o que podemos concluir sobre o número de raízes positivas.negati- vas e complexas das equações abaixo?
Passo 1
O enunciado pede para usar a Regra de Sinais de Descartes a fim de determinar quantas raízes positivas, negativas e complexas tem a equação
. Vamos lembrar que pela Regra de Descartes o número de raízes reais positivas é igual ou menor que o número de mudanças de sinal em
, e o número de raízes reais negativas é igual ou menor que o número de mudanças de sinal em
, diminuído de um valor par.
Passo 2
Analisando
, todos os coeficientes são positivos, logo não há nenhuma mudança de sinal entre termos consecutivos. Pelo Regra de Descartes, o número de raízes reais positivas é zero.
Passo 3
Para
ocorre exatamente o mesmo, pois os expoentes são pares e os coeficientes continuam todos positivos. Logo não há mudança de sinal e o número de raízes reais negativas também é zero.
Passo 4
Pela Teoria Fundamental da Álgebra, uma equação de grau 4 tem exatamente 4 raízes (contando multiplicidades) no conjunto dos complexos. Já que não há raízes reais positivas nem negativas, todas as 4 raízes devem ser complexas não reais.
Resposta
Não existem raízes positivas nem negativas; as 4 raízes são complexas não reais.