Construa equações com coeficientes inteiros que possuam apenas as seguintes raízes:
, raiz dupla 2
Passo 1
O enunciado pede que a gente construa uma equação polinomial com coeficientes inteiros cujas raízes sejam exatamente ±3i (simples) e 2 (com multiplicidade 2). Vamos usar teoria de polinômios, o teorema das raízes complexas conjugadas e a noção de multiplicidade de raízes.
Passo 2
Pelo teorema da raiz complexa conjugada, se 3i é raiz de um polinômio com coeficientes reais, então -3i também é. O fator correspondente a essas duas raízes é dado por
Como a raiz 2 é dupla (multiplicidade 2), incluímos o fator
.
Assim, o polinômio procurado em forma fatorada é
Assim, o polinômio procurado em forma fatorada é
Passo 3
Para obter a forma explícita, primeiro note que
e então distribuímos:
Resposta
x^4 - 4x^3 + 13x^2 - 36x + 36 = 0