Construa equações com coeficientes inteiros que possuam apenas as seguintes raízes:
pm 3 i, raiz dupla 2

Passo 1

O enunciado pede que a gente construa uma equação polinomial com coeficientes inteiros cujas raízes sejam exatamente ±3i (simples) e 2 (com multiplicidade 2). Vamos usar teoria de polinômios, o teorema das raízes complexas conjugadas e a noção de multiplicidade de raízes.

Passo 2

Pelo teorema da raiz complexa conjugada, se 3i é raiz de um polinômio com coeficientes reais, então -3i também é. O fator correspondente a essas duas raízes é dado por
(x - 3i)(x + 3i) = x^2 + 9
Como a raiz 2 é dupla (multiplicidade 2), incluímos o fator (x - 2)^2.
Assim, o polinômio procurado em forma fatorada é
f(x) = (x^2 + 9), (x - 2)^2

Passo 3

Para obter a forma explícita, primeiro note que
(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4
e então distribuímos:
f(x) = (x^2 + 9)(x^2 - 4x + 4) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 9x^2 - 36x + 36 = x^4 - 4x^3 + 13x^2 - 36x + 36

Resposta

x^4 - 4x^3 + 13x^2 - 36x + 36 = 0

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