20.4 Prove que (x-3) é um fator do polinômio P(x)=x^4-4 x^3-7 x^2+22 x+24.

SOLUÇÃO

P(3)=81-108-63+66+24=0. Portanto (x-3) é um fator de P(x), 3 é um zero do polinômio P(x) e 3 é uma raiz da equação P(x)=0.

Passo 1

O enunciado pede para provar que (x-3) é um fator do polinômio P(x)=x^4-4x^3-7x^2+22x+24. O conteúdo principal aqui é o Teorema do Resto: afirma que (x-a) é fator de P(x) se, e somente se, P(a)=0.

Passo 2

Segundo o Teorema do Resto, basta calcular P(3) e verificar se esse valor é zero.

Passo 3

Substituindo x=3 em P(x), temos:
P(3)=3^4-4cdot3^3-7cdot3^2+22cdot3+24
E simplificando, obtemos:
P(3)=81-108-63+66+24=0

Passo 4

Como P(3)=0, concluímos que 3 é raiz de P(x) e, portanto, (x-3) é um fator de P(x).

Resposta

Como P(3)=0, temos que (x-3) é fator de P(x).

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