Determine a equação reduzida da hipérbole, satisfazendo a propriedade dada:
Vértices
e
, eixo imaginário de comprimento 8 .
Vértices
Passo 1
O enunciado diz que temos uma hipérbole com vértices em (-1,-4) e (-1,4) e que o “eixo imaginário” (eixo conjugado) mede 8. Vamos precisar do centro, dos valores de a e b, e da forma canônica de uma hipérbole.
Passo 2
Para achar o centro (h,k) da hipérbole, usamos o ponto médio dos vértices. Assim,
Passo 3
Como os vértices estão alinhados verticalmente (x constante), o eixo transverse é vertical. Logo, a forma canônica é
Passo 4
O valor de a é metade da distância entre os vértices:
Passo 5
O “eixo imaginário” corresponde ao eixo conjugado, cujo comprimento é 2b. Como 2b=8, temos b=4 e b^2=16.
Passo 6
Substituindo h=-1, k=0, a^2=16 e b^2=16 na forma canônica vertical, obtemos: