Determine a equação reduzida da hipérbole, satisfazendo a propriedade dada:
Vértices (-1,-4) e (-1,4), eixo imaginário de comprimento 8 .

Passo 1

O enunciado diz que temos uma hipérbole com vértices em (-1,-4) e (-1,4) e que o “eixo imaginário” (eixo conjugado) mede 8. Vamos precisar do centro, dos valores de a e b, e da forma canônica de uma hipérbole.

Passo 2

Para achar o centro (h,k) da hipérbole, usamos o ponto médio dos vértices. Assim,
h=-1+(-1)2=-1, k=-4+42=0

Passo 3

Como os vértices estão alinhados verticalmente (x constante), o eixo transverse é vertical. Logo, a forma canônica é
(y-k)^2a^2-(x-h)^2b^2=1

Passo 4

O valor de a é metade da distância entre os vértices:
a=distância entre (-1,-4) e (-1,4)2=82=4, a^2=16â

Passo 5

O “eixo imaginário” corresponde ao eixo conjugado, cujo comprimento é 2b. Como 2b=8, temos b=4 e b^2=16.

Passo 6

Substituindo h=-1, k=0, a^2=16 e b^2=16 na forma canônica vertical, obtemos:
(y-0)^216-(x+1)^216=1

Resposta

y^216-(x+1)^216=1

Exercícios de Livros Relacionados