Dada uma base ortonormal u1, u2, u3 subset R^3, sejam n, p in N tais que p=n^2+n+1. Defina um operador A: R^3 R^3 pondo A u1=v1, A u2=v2, A u3=v3, onde
& v1=1p[n u1+(n+1) u2+n(n+1) u3], & v2=1p[n(n+1) u1+n u2-(n+1) u3], & v3=1p[(n+1) u1-n(n+1) u2+n u3]
Prove que o operador A é ortogonal.

Passo 1

O enunciado nos dá uma base ortonormal u1,u2,u3 de R^3 e define um operador A por Aui=vi, onde cada vi é uma combinação linear de u1,u2,u3 com coeficientes envolvendo n e p=n^2+n+1. O objetivo é mostrar que A é ortogonal, ou seja, que preserva o produto interno. Para isso, basta provar que v1,v2,v3 também forma uma base ortonormal.

Passo 2

Recordando que, se ui é ortonormal e vj=sumi aijui, então
lang<= vj,vkrang<==sumi=1^3aijaik

Passo 3

Assim, escrevemos a matriz de coeficientes
M= n&(n+1)&n(n+1) n(n+1)&n&-(n+1) (n+1)&-n(n+1)&n ,

Passo 4

de modo que vj=tfrac1psumiMijui. Então a matriz de Gram de vj é
G=l(lang<= vj,vkrang<=r)=1p^2M^TM

Passo 5

Calculamos primeiro as entradas diagonais de M^TM: para a coluna 1, por exemplo,
n^2+(n+1)^2+[n(n+1)]^2= n^2+(n^2+2n+1)+(n^4+2n^3+n^2)=n^4+2n^3+3n^2+2n+1=(n^2+n+1)^2=p^2

Passo 6

De modo idêntico obtemos p^2 nas colunas 2 e 3. Em seguida, as entradas fora da diagonal são produtos escalares de colunas distintas, por exemplo,
ncdot n(n+1)+(n+1)cdot n+n(n+1)cdot(- (n+1))=n(n+1)(n+1+n-(n+1))=0,

Passo 7

e o mesmo se aplica aos outros pares. Logo
M^TM=p^2I3

Passo 8

e portanto
G=1p^2M^TM=I3

Passo 9

Isso mostra que v1,v2,v3 é ortonormal, o que implica que A preserva o produto interno e é um operador ortogonal.

Resposta

O operador A é ortogonal, pois envia a base ortonormal ui em outra base ortonormal vi.

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