Dada uma base ortonormal , sejam tais que . Defina um operador pondo , onde
Prove que o operador A é ortogonal.
Passo 1
O enunciado nos dá uma base ortonormal de e define um operador por , onde cada é uma combinação linear de com coeficientes envolvendo e . O objetivo é mostrar que é ortogonal, ou seja, que preserva o produto interno. Para isso, basta provar que também forma uma base ortonormal.
Passo 2
Recordando que, se é ortonormal e , então
Passo 3
Assim, escrevemos a matriz de coeficientes
Passo 4
de modo que vj=tfrac1psumiMijui. Então a matriz de Gram de vj é
G=l(lang<= vj,vkrang<=r)=1p^2M^TM
Passo 5
Calculamos primeiro as entradas diagonais de M^TM: para a coluna 1, por exemplo,