Dada a forma quadrática varphi: R^2 R, com varphi(x, y)=2 x^2-y^2+ 3 x y, ache uma base ortonormal u, v subset R^2 e números lambda, mu tais que, para todo vetor w=s u+t v in R^2 se tenha varphi(w)=lambda s^2+mu t^2.

Passo 1

Vamos usar que uma forma quadrática em R^2 pode ser representada por uma matriz simétrica e ser diagonalizada por uma base ortonormal de autovetores. Aqui a matéria é autovalores e autovetores de matrizes simétricas e mudança para base ortonormal.

Passo 2

Em primeiro lugar, escrevemos a forma como , onde a matriz satisfaz
$$
A= ,
.]

Passo 3

Agora encontramos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I)=det2-lambda & tfrac32[4pt]tfrac32 & -1-lambda=(2-lambda)(-1-lambda)-l(tfrac32r)^2
Expandindo,
(2-lambda)(-1-lambda)-tfrac94= -2 -2lambda +lambda +lambda^2 -tfrac94=lambda^2-lambda-tfrac174=0
Multiplicando por 4 e resolvendo a equação quadrática, obtemos
lambda=1pm3raiz22
]

Passo 4

Chamando e , vamos achar os autovetores. Para resolvemos
que dá o sistema
Calcula-se , de onde
Então um autovetor associado é .

Passo 5

Para lambda2, igual procedimento: 2-lambda2=tfrac32(1+raiz2), levando a
y= -2-lambda23/2,x=-(1+raiz2)x,
logo um autovetor é (1,,-(1+raiz2)).

Passo 6

Agora normalizamos esses vetores para obter uma base ortonormal. O comprimento de (1,raiz2-1) é
raiz1+(raiz2-1)^2=raiz4-2raiz2
e o de (1,-(1+raiz2)) é
raiz1+(1+raiz2)^2=raiz4+2raiz2
Assim podemos escolher
u=1raiz4-2raiz21raiz2-1, v=1raiz4+2raiz21-(1+raiz2)

Passo 7

Na base u,v ortonormal, a forma fica diagonal com autovalores lambda1 e lambda2. Ou seja, se w=s,u+t,v então
varphi(w)=lambda1,s^2+lambda2,t^2

Resposta

Uma base ortonormal de autovetores é
u=1raiz4-2raiz21raiz2-1, v=1raiz4+2raiz21-(1+raiz2),
e os números são
lambda=1+3raiz22, ,mu=1-3raiz22,
tal que para w=s,u+t,v vale varphi(w)=lambda s^2+mu t^2.

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