Seja b: R^5 times R^5 R uma forma bilinear anti-simétrica. Prove que existem números alpha, beta e uma base v1, v2, v3, v4, v5 subset R^5 tais que b(v1, v2)=-b(v2, v1)=alpha, b(v3, v4)=-b(v4, v3)=beta e b(vi, vj)=0 nos demais casos. Conclua que existem funcionais lineares f1, f2, f3, f4: R^5 R tais que b=f1 wed>= f2+f3 wed>= f4.

Passo 1

O enunciado pede a forma canônica de uma forma bilinear antissimétrica em R^5 e, em seguida, exibir b como soma de dois wedge de funcionais lineares. Vamos usar resultados de álgebra linear sobre rank, núcleo e decomposição ortogonal para formas antissimétricas.

Passo 2

Como b é antissimétrica, seu rank deve ser par (0, 2 ou 4). Se bequiv 0, a base canônica já satisfaz todas as condições com alpha=beta=0. Caso contrário, existe algum par (x,y) tal que b(x,y)neq0. Escolhemos v1=x e v2=y, definimos alpha=b(v1,v2)neq0 e consideramos o subespaço U=spanv1,v2.

Passo 3

Definimos o complemento ortogonal de U relativamente a b:
W=winR^5: b(w,u)=0;forall uin U
Mostra-se que dim W=3 e que R^5=Uoplus W. Na restrição de b a W, de modo análogo, seu rank é 0 ou 2. Se for 0, tomamos v3,v4 quaisquer em W com beta=0 e completamos com um vetor v5 no núcleo. Se for 2, escolhemos v3,v4in W tais que b(v3,v4)=:betaneq0 e definimos o núcleo restante gerado por v5.

Passo 4

No fim obtemos uma base v1,v2,v3,v4,v5 de R^5 tal que:
b(v1,v2)=alpha, b(v2,v1)=-alpha, b(v3,v4)=beta, b(v4,v3)=-beta,
e todos os outros pares têm forma zero.

Passo 5

Para escrever b como soma de wedges, usamos a base dual v^1,dots,v^5 em que v^i(vj)=de<a^ij. Definimos:
f1=v^1, ;f2=alpha,v^2, ;f3=v^3, ;f4=beta,v^4
Então um cálculo direto mostra que
b=f1wed>= f2+f3wed>= f4

Passo 6

Assim concluímos a forma canônica e a expressão procurada.

Resposta

Existem funcionais lineares f1,f2,f3,f4 em R^5 tais que
b = f1 wed>= f2 + f3 wed>= f4

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