Seja
uma forma bilinear anti-simétrica. Prove que existem números
e uma base
tais que
nos demais casos. Conclua que existem funcionais lineares
tais que
.
Passo 1
O enunciado pede a forma canônica de uma forma bilinear antissimétrica em
e, em seguida, exibir
como soma de dois wedge de funcionais lineares. Vamos usar resultados de álgebra linear sobre rank, núcleo e decomposição ortogonal para formas antissimétricas.
Passo 2
Como
é antissimétrica, seu rank deve ser par (0, 2 ou 4). Se
, a base canônica já satisfaz todas as condições com
. Caso contrário, existe algum par
tal que
. Escolhemos
e
, definimos
e consideramos o subespaço
.
Passo 3
Definimos o complemento ortogonal de
relativamente a
:
Mostra-se que
e que
. Na restrição de
a
, de modo análogo, seu rank é 0 ou 2. Se for 0, tomamos
quaisquer em
com
e completamos com um vetor
no núcleo. Se for 2, escolhemos
tais que
e definimos o núcleo restante gerado por
.
Passo 4
No fim obtemos uma base
de
tal que:
e todos os outros pares têm forma zero.
Passo 5
Para escrever
como soma de wedges, usamos a base dual
em que
. Definimos:
Então um cálculo direto mostra que
Passo 6
Assim concluímos a forma canônica e a expressão procurada.
Resposta
Existem funcionais lineares
em
tais que