Dadas as formas quadráticas abaixo, use o método de Lagrange para exprimi-las como somas e diferenças de quadrados e, a partir daí, determine o índice e o posto de cada uma delas:
Passo 1
O enunciado dá a forma quadrática
. O conteúdo é completamento de quadrados (método de Lagrange) para escrever
como soma e diferença de quadrados e, em seguida, achar o índice (número de quadrados com coeficiente positivo) e o posto (número total de quadrados não nulos).
Passo 2
Observamos que o quadrado de
gera quase todos os termos de
. De fato,
que difere de
apenas pelo termo
. Logo,
Passo 3
Agora faltou lidar com
. Para expressá-lo como soma e diferença de quadrados, usamos a identidade
Logo,
Passo 4
Substituindo em
, obtemos a decomposição final:
Dessa forma, aparecem dois quadrados com sinal positivo e um com sinal negativo, todos não nulos.
Resposta
Decomposição:
. Índice = 2; posto = 3.