Dadas as formas quadráticas abaixo, use o método de Lagrange para exprimi-las como somas e diferenças de quadrados e, a partir daí, determine o índice e o posto de cada uma delas:
xi(x, y, z)=x^2+2 x y+z^2-3 x z+y^2-2 y z

Passo 1

O enunciado dá a forma quadrática xi(x,y,z)=x^2+2xy+y^2+z^2-3xz-2yz. O conteúdo é completamento de quadrados (método de Lagrange) para escrever xi como soma e diferença de quadrados e, em seguida, achar o índice (número de quadrados com coeficiente positivo) e o posto (número total de quadrados não nulos).

Passo 2

Observamos que o quadrado de x+y-z gera quase todos os termos de xi. De fato,
(x+y-z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy-2xz-2yz,
que difere de xi apenas pelo termo -xz. Logo,
xi=(x+y-z)^2-xz

Passo 3

Agora faltou lidar com -xz. Para expressá-lo como soma e diferença de quadrados, usamos a identidade
(x+z)^2-(x-z)^2=4xzLongrightarrow xz=tfrac(x+z)^2-(x-z)^24
Logo,
-xz=(x-z)^2-(x+z)^24

Passo 4

Substituindo em xi, obtemos a decomposição final:
xi=(x+y-z)^2+14(x-z)^2-14(x+z)^2
Dessa forma, aparecem dois quadrados com sinal positivo e um com sinal negativo, todos não nulos.

Resposta

Decomposição: xi=(x+y-z)^2+tfrac14(x-z)^2-tfrac14(x+z)^2. Índice = 2; posto = 3.

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