Dadas as formas quadráticas abaixo, use o método de Lagrange para exprimi-las como somas e diferenças de quadrados e, a partir daí, determine o índice e o posto de cada uma delas:
varphi(x, y)=x^2+9 y^2+6 x y

Passo 1

O enunciado pede para usar o método de Lagrange (isto é, completar quadrados) na forma quadrática φ(x,y)=x²+6xy+9y², e depois extrair o índice (número de quadrados positivos) e o posto (rank) da forma.

Passo 2

Agrupando os termos que envolvem x e y e completando o quadrado, temos:
x^2+6xy+9y^2=(x+3y)^2

Passo 3

Assim, a forma quadrática fica
varphi(x,y)=(x+3y)^2

Passo 4

Da representação em quadrado, vemos que há exatamente um quadrado positivo e nenhum quadrado negativo. O posto é o número total de quadrados não nulos, ou seja, 1.

Resposta

φ(x,y)=(x+3y)^{2}, índice=1, posto=1

Exercícios de Livros Relacionados