Dada a forma quadrática
, com
, escreva-a como
e use o trinômio
para obter condições sobre
que caracterizam se
é positiva, negativa, indefinida, não-negativa ou não-positiva.
Passo 1
O enunciado pede para classificarmos a forma quadrática
em positiva, negativa, indefinida, não-negativa ou não-positiva, usando a mudança de variável
. O conteúdo é teoria de formas quadráticas em
e vamos precisar da noção de discriminante de um polinômio do segundo grau.
Passo 2
Escrevemos a forma como
Como
para todo
, o sinal de
depende só do polinômio
.
Passo 3
Para classificar o sinal de
lembramos que seu discriminante é
. Então:
- Se
e , então para todo , logo (positiva definida). - Se
e , então para todo , logo (negativa definida). - Se
, o polinômio tem duas raízes reais distintas e muda de sinal, logo é indefinida. - Se
e , então e zera em uma raiz dupla, logo é não-negativa (semidefinida positiva). - Se
e , então e zera em uma raiz dupla, logo é não-positiva (semidefinida negativa).
Resposta
As condições em termos de
são:
• Positiva definida:
e
.
• Negativa definida:
e
.
• Indefinida:
.
• Semidefinida positiva (não-negativa):
e
.
• Semidefinida negativa (não-positiva):
e
.