Dada a forma quadrática varphi: R^2 R, com varphi(x, y)=a x^2+ b x y+cy^2, escreva-a como
varphi(x, y) & =y^2[a(xy)^2+b(xy)+c] & =y^2[a t^2+b t+c], t=x / y,
e use o trinômio a t^2+b t+c para obter condições sobre a, b, c que caracterizam se varphi é positiva, negativa, indefinida, não-negativa ou não-positiva.

Passo 1

O enunciado pede para classificarmos a forma quadrática varphi(x,y)=a x^2+b x y+c y^2 em positiva, negativa, indefinida, não-negativa ou não-positiva, usando a mudança de variável t=x/y. O conteúdo é teoria de formas quadráticas em R^2 e vamos precisar da noção de discriminante de um polinômio do segundo grau.

Passo 2

Escrevemos a forma como
varphi(x,y)=y^2l[al(tfracxyr)^2+bl(tfracxyr)+cr]=y^2l[a t^2+b t+cr], t=tfracxy
Como y^2>=0 para todo y, o sinal de varphi depende só do polinômio p(t)=a t^2+b t+c.

Passo 3

Para classificar o sinal de p(t) lembramos que seu discriminante é De<a=b^2-4ac. Então:
  • Se De<a<0 e a>0, então p(t)>0 para todo t, logo varphi>0 (positiva definida).
  • Se De<a<0 e a<0, então p(t)<0 para todo t, logo varphi<0 (negativa definida).
  • Se De<a>0, o polinômio tem duas raízes reais distintas e muda de sinal, logo varphi é indefinida.
  • Se De<a=0 e a>0, então p(t)>=0 e zera em uma raiz dupla, logo varphi é não-negativa (semidefinida positiva).
  • Se De<a=0 e a<0, então p(t)<=0 e zera em uma raiz dupla, logo varphi é não-positiva (semidefinida negativa).

Resposta

As condições em termos de a,b,c são:
• Positiva definida: a>0 e b^2-4ac<0.
• Negativa definida: a<0 e b^2-4ac<0.
• Indefinida: b^2-4ac>0.
• Semidefinida positiva (não-negativa): a>=0 e b^2-4ac<=0.
• Semidefinida negativa (não-positiva): a<=0 e b^2-4ac<=0.

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