Sejam E, F espaços vetoriais de dimensão finita, com produto interno. Estabeleça um isomorfismo natural entre B(E times F) e L(E ; F). Determine a relação entre as matrizes de uma forma bilinear e da transformação linear que lhe corresponde.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que há um isomorfismo natural entre o espaço das formas bilineares B(Etimes F) e o espaço das transformações lineares L(E;F), usando que E e F têm produto interno. Depois, devemos relacionar as matrizes de uma forma bilinear e da transformação linear correspondente.

Passo 2

Pelo Teorema de Riesz, em um espaço com produto interno qualquer aplicação linear psi:FtoK vem de um único vetor vin F tal que psi(y)=lang<= v,yrang<=. Fixando xin E, a função ymapsto varphi(x,y) é linear em F. Logo existe um único T(x)in F tal que
varphi(x,y)=lang<= T(x),yrang<=para todo yin F
Isso define uma aplicação T:Eto F, e é fácil checar que T é linear em x. Assim obtemos um mapeamento
Phi:B(Etimes F)toL(E;F),Phi(varphi)=T
É imediato ver que esse Phi é bijetivo e linear (soma e escalar em varphi passam para soma e escalar em T). Portanto é um isomorfismo natural.

Passo 3

Agora, para relacionar as matrizes, escolha bases ortonormais (ei) de E e (fj) de F. Seja A=(aij) a matriz de varphi, onde
aij=varphi(ei,fj)
E seja M=(mkj) a matriz de T, com
T(ej)=sumk mkj,fk
Então
aij=varphi(ei,fj)=lang<= T(ei),fjrang<==sumk mki,lang<= fk,fjrang<==mji
Logo a matriz A de varphi é a transposta de M, ou seja
M=A^T

Resposta

O isomorfismo natural é dado por $\varphi\mapsto T$, onde $T:E\to F$ satisfaz
\
Nas bases ortonormais, as matrizes satisfazem $M_{ji}=A_{ij}$, isto é $M=A^T.$

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