Sejam
espaços vetoriais de dimensão finita, com produto interno. Estabeleça um isomorfismo natural entre
e
. Determine a relação entre as matrizes de uma forma bilinear e da transformação linear que lhe corresponde.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que há um isomorfismo natural entre o espaço das formas bilineares
e o espaço das transformações lineares
, usando que
e
têm produto interno. Depois, devemos relacionar as matrizes de uma forma bilinear e da transformação linear correspondente.
Passo 2
Pelo Teorema de Riesz, em um espaço com produto interno qualquer aplicação linear
vem de um único vetor
tal que
. Fixando
, a função
é linear em
. Logo existe um único
tal que
Isso define uma aplicação
, e é fácil checar que
é linear em
. Assim obtemos um mapeamento
É imediato ver que esse
é bijetivo e linear (soma e escalar em
passam para soma e escalar em
). Portanto é um isomorfismo natural.
Passo 3
Agora, para relacionar as matrizes, escolha bases ortonormais
de
e
de
. Seja
a matriz de
, onde
E seja
a matriz de
, com
Então
Logo a matriz
de
é a transposta de
, ou seja
Resposta
O isomorfismo natural é dado por $\varphi\mapsto T$, onde $T:E\to F$ satisfaz
\
\
Nas bases ortonormais, as matrizes satisfazem $
M_{ji}=A_{ij}$, isto é $M=A^T.$