Prove que todo operador linear invertível
transforma uma quádrica
noutra quádrica de mesmo tipo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um operador linear invertível
e uma quádrurica
definida por uma equação de segundo grau, a imagem
também é uma quádrurica e, além disso, tem o mesmo tipo (mesma assinatura). Vamos usar a representação matricial geral de quádruricas e o Teorema da Inércia de Sylvester para ver que o tipo não muda sob transformação por congruência.
Passo 2
Qualquer quádrurica
em
pode ser escrita como
onde
é matriz simétrica
,
e
. Como
é invertível, podemos parametrizar cada ponto da imagem por
. Substituindo na equação de
obtemos
Rescrevendo, definimos
e então
Isso mostra que
ou seja, é outra quádrurica.
Passo 3
Para ver que o tipo (assinatura de
) permanece o mesmo, usamos o Teorema da Inércia de Sylvester, que afirma que matrizes simétricas congruentes por uma matriz invertível têm a mesma assinatura. Como fizemos
portanto
é congruente a
e tem exatamente o mesmo número de autovalores positivos, negativos e zeros. Logo, a quádrurica
tem o mesmo tipo que
.
Resposta
A(Σ) é uma quádrurica definida por um
simétrico e, pelo Teorema da Inércia de Sylvester,
tem a mesma assinatura que
. Portanto todo operador linear invertível transforma uma quádrurica em outra do mesmo tipo.