Prove que todo operador linear invertível A: R^n R^n transforma uma quádrica Sigma subset R^n noutra quádrica de mesmo tipo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um operador linear invertível A:R^ntoR^n e uma quádru­rica SigmasubsetR^n definida por uma equação de segundo grau, a imagem A(Sigma) também é uma quádru­rica e, além disso, tem o mesmo tipo (mesma assinatura). Vamos usar a representação matricial geral de quádru­ricas e o Teorema da Inércia de Sylvester para ver que o tipo não muda sob transformação por congruência.

Passo 2

Qualquer quádru­rica Sigma em R^n pode ser escrita como
Sigma = xinR^n:;x^T Q x + b^T x + c = 0,
onde Q é matriz simétrica ntimes n, binR^n e cinR. Como A é invertível, podemos parametrizar cada ponto da imagem por x = A y. Substituindo na equação de Sigma obtemos
(Ay)^T Q (Ay) + b^T (Ay) + c = 0
Rescrevendo, definimos
Q' = A^T Q A,
b' = A^T b,
e então
y^T Q' y + b'^T y + c = 0
Isso mostra que
A(Sigma) = z = A y:;y^T Q' y + b'^T y + c = 0, ou seja, é outra quádru­rica.

Passo 3

Para ver que o tipo (assinatura de Q) permanece o mesmo, usamos o Teorema da Inércia de Sylvester, que afirma que matrizes simétricas congruentes por uma matriz invertível têm a mesma assinatura. Como fizemos
Q' = A^T Q A,
portanto Q' é congruente a Q e tem exatamente o mesmo número de autovalores positivos, negativos e zeros. Logo, a quádru­rica A(Sigma) tem o mesmo tipo que Sigma.

Resposta

A(Σ) é uma quádru­rica definida por um Q' = A^T Q A simétrico e, pelo Teorema da Inércia de Sylvester, Q' tem a mesma assinatura que Q. Portanto todo operador linear invertível transforma uma quádru­rica em outra do mesmo tipo.

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