Dadas as formas quadráticas abaixo, use o método de Lagrange para exprimi-las como somas e diferenças de quadrados e, a partir daí, determine o índice e o posto de cada uma delas:
psi(x, y)=x^2+8 y^2+6 x y

Passo 1

Temos uma forma quadrática psi(x,y)=x^2+6xy+8y^2. O conteúdo aqui é formas quadráticas e vamos usar o método de Lagrange (completar quadrados) para reescrevê-la como soma e diferença de quadrados e depois encontrar índice e posto.

Passo 2

Para aplicar o método de Lagrange, a gente agrupa termos em x: primeiro note que
x^2 + 6xy = (x + 3y)^2 - 9y^2
Substituindo em psi obtemos
psi(x,y) = (x + 3y)^2 - 9y^2 + 8y^2 = (x + 3y)^2 - y^2

Passo 3

Na expressão psi = (x+3y)^2 - y^2 temos um quadrado positivo e um quadrado negativo. Assim o número de quadrados positivos (índice) é 1, e o posto (quantidade de quadrados não nulos) é 2.

Resposta

psi(x,y)=(x+3y)^2-y^2, índice = 1, posto = 2.

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