Um operador T: E E chama-se triangularizável quando o espaço vetorial E possui uma base, relativamente à qual a matriz de T é triangular. Prove:
T é triangularizável se, e somente se, existe uma cadeia descendente E=Gn supset cdots supset G1 supset Go=0 de subespaços invariantes por T tais que dim Gi=i para i=0,1, ldots, n.

Passo 1

O enunciado considera um operador linear T: E to E num espaço vetorial de dimensão n. Precisamos mostrar que " T é triangularizável" (existe base na qual [T] é triangular) se, e somente se, existe uma cadeia de subespaços invariantes por T
E = Gn supset Gn-1 supset cdots supset G0 = 0 com dim Gi = i.

Passo 2

Primeiro, suponha que T seja triangularizável. Então existe uma base v1,dots,vn de E tal que [T] é triangular superior. Para cada i=1,dots,n defina o subespaço
Gi = spanv1,dots,vi
Note que dim Gi = i e, como [T] é triangular, T(vj)in spanv1,dots,vj=Gj para todo j. Logo T(Gi)subset Gi e obtemos a cadeia desejada.

Passo 3

Agora, suponha que exista a cadeia
E = Gn supset Gn-1 supset cdots supset G0 = 0,
com dim Gi = i e T(Gi)subset Gi. Construa uma base adaptada à cadeia escolhendo um vetor v1neq0 em G1, depois um v2 em G2setminus G1, e assim por diante até vn em Gnsetminus Gn-1. Essa família v1,dots,vn é base de E e, pela invariância, cada T(vj) fica em Gj=spanv1,dots,vj. Isso garante que [T] nessa base seja triangular.

Passo 4

Juntando as duas direções concluímos a equivalência pedida.

Resposta

T é triangularizável se, e somente se, existe a cadeia de subespaços invariantes
E = Gn supset cdots supset G0 = 0 com dim Gi = i, conforme demonstrado.

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