Um operador
chama-se triangularizável quando
espaço vetorial E possui uma base, relativamente à qual a matriz de T é triangular. Prove:
T é triangularizável se, e somente se, existe uma cadeia descendente
de subespaços invariantes por
tais que
para
.
T é triangularizável se, e somente se, existe uma cadeia descendente
Passo 1
O enunciado considera um operador linear
num espaço vetorial de dimensão
. Precisamos mostrar que "
é triangularizável" (existe base na qual
é triangular) se, e somente se, existe uma cadeia de subespaços invariantes por
com
.
Passo 2
Primeiro, suponha que
seja triangularizável. Então existe uma base
de
tal que
é triangular superior. Para cada
defina o subespaço
Note que e, como
é triangular,
para todo
. Logo
e obtemos a cadeia desejada.
Note que
Passo 3
Agora, suponha que exista a cadeia
com e
. Construa uma base adaptada à cadeia escolhendo um vetor
em
, depois um
em
, e assim por diante até
em
. Essa família
é base de
e, pela invariância, cada
fica em
. Isso garante que
nessa base seja triangular.
com
Passo 4
Juntando as duas direções concluímos a equivalência pedida.
Resposta
T é triangularizável se, e somente se, existe a cadeia de subespaços invariantes
com
, conforme demonstrado.