Um operador T: E E chama-se triangularizável quando o espaço vetorial E possui uma base, relativamente à qual a matriz de T é triangular. Prove:
T é triangularizável se, e somente se, T^* é triangularizável.

Passo 1

O exercício pede para mostrar que um operador linear T em um espaço vetorial de dimensão finita E é triangularizável se, e somente se, seu adjunto T^*colon E^*to E^* também é triangularizável. O conteúdo principal envolve as seguintes ideias: definição de triangularização por meio de uma bandeira (flag) de subespaços invariantes, e o uso de complementos ortogonais entre E e seu dual E^*.

Passo 2

Vamos primeiro lembrar que um operador T em espaço de dimensão n é triangularizável exatamente quando existe uma cadeia de subespaços
0 = V0 ,subset, V1 ,subset, V2 ,subset, cdots ,subset, Vn = E
com dim Vi = i e T(Vi) subseteq Vi para todo i. Além disso, para cada subespaço Usubseteq E definimos o complemento ortogonal
U^perp = varphiin E^* : varphi(u)=0 ;forall uin U,
e sabemos que
  1. dim U + dim U^perp = n,
  2. se T(U)subseteq U então T^*(U^perp)subseteq U^perp.

Passo 3

Suponha que T seja triangularizável, ou seja, exista a bandeira
0 = V0 ,subset, V1 ,subset, dots ,subset, Vn = E
com T(Vi)subseteq Vi. Definimos em E^* os subespaços
Wi = Vi^perp,
para i=0,1,dots,n. Então:
  • dim Wi = n - dim Vi = n - i.
  • Como T(Vi)subseteq Vi, concluímos que T^*(Wi)subseteq Wi.
    Assim, obtemos a cadeia decrescente
E^* = W0 ,supset, W1 ,supset, dots ,supset, Wn = 0
invariante por T^*. Invertendo a ordem dessa cadeia, conseguimos uma bandeira crescente em E^* estável por T^*, o que mostra que T^* é triangularizável.

Passo 4

Agora suponha que T^* seja triangularizável. Então existe uma bandeira
0 = W0 ,subset, W1 ,subset, dots ,subset, Wn = E^*
com T^*(Wi)subseteq Wi. Definimos em E
os complementos ortogonais
Uk = Wn-k^perp, k=0,1,dots,n
Como antes, segue-se que
  • dim Uk = n - dim Wn-k = k.
  • Se T^*(Wn-k)subseteq Wn-k, então T(Uk)subseteq Uk.
    Portanto,
0 = U0 ,subset, U1 ,subset, dots ,subset, Un = E
é uma bandeira crescente de dimensão correta estável por T, ou seja, T é triangularizável.

Resposta

Concluímos que T é triangularizável se, e somente se, T^* é triangularizável.

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