Um operador
chama-se triangularizável quando
espaço vetorial E possui uma base, relativamente à qual a matriz de T é triangular. Prove:
T é triangularizável se, e somente se,
é triangularizável.
T é triangularizável se, e somente se,
Passo 1
O exercício pede para mostrar que um operador linear
em um espaço vetorial de dimensão finita
é triangularizável se, e somente se, seu adjunto
também é triangularizável. O conteúdo principal envolve as seguintes ideias: definição de triangularização por meio de uma bandeira (flag) de subespaços invariantes, e o uso de complementos ortogonais entre
e seu dual
.
Passo 2
Vamos primeiro lembrar que um operador
em espaço de dimensão
é triangularizável exatamente quando existe uma cadeia de subespaços
com
e
para todo
. Além disso, para cada subespaço
definimos o complemento ortogonal
e sabemos que
-
, - se
então .
Passo 3
Suponha que
seja triangularizável, ou seja, exista a bandeira
com
. Definimos em
os subespaços
para
. Então:
-
. - Como
, concluímos que .
Assim, obtemos a cadeia decrescente
invariante por
. Invertendo a ordem dessa cadeia, conseguimos uma bandeira crescente em
estável por
, o que mostra que
é triangularizável.
Passo 4
Agora suponha que
seja triangularizável. Então existe uma bandeira
com
. Definimos em
os complementos ortogonais
os complementos ortogonais
Como antes, segue-se que
-
. - Se
, então .
Portanto,
é uma bandeira crescente de dimensão correta estável por
, ou seja,
é triangularizável.
Resposta
Concluímos que
é triangularizável se, e somente se,
é triangularizável.