Prove que a matriz
admite uma decomposição do tipo
se, e somente
.
Passo 1
Primeiro passo: resumindo o enunciado, temos a matriz
o conteúdo é decomposição LU sem pivotamento, ou seja, queremos escrever
com
unitária triangular inferior e
triangular superior.
Passo 2
Para construir
e
, tomamos as formas gerais sem pivotamento:
Passo 3
Agora calculamos o produto
L,U e comparamos com
a :
Comparando com
a=0 & a b & c , obtemos o sistema de equações:
Passo 4
Da primeira equação vem
u11=0 . Substituindo na terceira equação,
ell,u11=ellcdot0=0 , e isso deve ser igual a
b . Logo
Isso mostra que, se a decomposição LU existir, necessariamente
b=0 .
Passo 5
Agora verificamos a reciprocidade: se
b=0 , basta escolher
que são triangular inferior unitária e triangular superior, respectivamente. Claramente
L,U=a . Assim, quando
b=0 a decomposição existe.
Resposta
A matriz admite decomposição LU sem pivotamento se, e somente se
b=0 .