Prove que a matriz
a=[ll 0 & a b & c ]
admite uma decomposição do tipo a=l u se, e somente se, b=0.

Passo 1

Primeiro passo: resumindo o enunciado, temos a matriz
a=0 & a b & c
o conteúdo é decomposição LU sem pivotamento, ou seja, queremos escrever a=L,U com L unitária triangular inferior e U triangular superior.

Passo 2

Para construir L e U, tomamos as formas gerais sem pivotamento:
L=1 & 0 ell & 1, U=u11 & u12 0 & u22

Passo 3

Agora calculamos o produto L,U e comparamos com a:
L,U=1 & 0 ell & 1 u11 & u12 0 & u22 = u11 & u12 ell,u11 & ell,u12+u22
Comparando com
a=0 & a b & c, obtemos o sistema de equações:
u11=0, u12=a, ell,u11=b, ell,u12+u22=c

Passo 4

Da primeira equação vem u11=0. Substituindo na terceira equação, ell,u11=ellcdot0=0, e isso deve ser igual a b. Logo
b=0
Isso mostra que, se a decomposição LU existir, necessariamente b=0.

Passo 5

Agora verificamos a reciprocidade: se b=0, basta escolher
L=1 & 0 0 & 1, U=0 & a 0 & c,
que são triangular inferior unitária e triangular superior, respectivamente. Claramente L,U=a. Assim, quando b=0 a decomposição existe.

Resposta

A matriz admite decomposição LU sem pivotamento se, e somente se b=0.

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