Dada a matriz simétrica
b=[ll 4 & 1 1 & 2 ],
ache uma matriz ortogonal p tal que p^top b p seja uma matriz diagonal. A partir daí obtenha uma base ortonormal u, v subset R^2 tal que a forma quadrática varphi: R^2 R, com varphi(x, y)=4 x^2+2 x y+2 y^2 se escreva como varphi(w)=lambda s^2+mu t^2 para todo vetor w=s u+t v.

Passo 1

O enunciado nos dá a forma quadrática varphi(x,y)=4x^2+2xy+2y^2 associada à matriz simétrica
B=4 & 11 & 2,
e pede uma matriz ortogonal P que diagonalize B (isto é, P^top B P=diag(lambda,mu)) e a base ortonormal de autovetores { u,v} que leva varphi à forma lambda s^2+mu t^2. Vamos usar diagonalização ortogonal de matrizes simétricas.

Passo 2

Para encontrar os autovalores, montamos o polinômio característico
det(B-lambda I)=det4-lambda & 11 & 2-lambda=(4-lambda)(2-lambda)-1=lambda^2-6lambda+7=0
Resolvendo, obtemos
lambda1,2=6pmraiz36-282=3pmraiz2

Passo 3

Agora achamos, para cada autovalor, um autovetor não nulo. Para resolvemos
logo podemos escolher
De forma análoga, para obtemos

Passo 4

Em seguida normalizamos v1 e v2 para obter auto-vetores unitários. Seus comprimentos são
|v1|=raiz1+(raiz2-1)^2=raiz4-2raiz2, |v2|=raiz1+(1+raiz2)^2=raiz4+2raiz2
Assim,
u=1raiz4-2raiz21raiz2-1, v=1raiz4+2raiz21-(1+raiz2)

Passo 5

Construímos então a matriz ortogonal
P=l[nu;;vr]
e verificamos que
P^topBP=3+raiz2&00&3-raiz2

Passo 6

Finalmente, se escrevemos um vetor qualquer win R^2 como w=s,nu+t,v, a forma quadrática fica
varphi(w)=l(P^topBPr)11s^2+l(P^topBPr)22t^2=(3+raiz2)s^2+(3-raiz2)t^2

Resposta

Uma escolha de base ortonormal de autovetores é
e a forma quadrática na nova coordenada fica
P^{\top}BP=\mathrm{diag}(3+\sqrt2,3-\sqrt2).$$

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