ache uma matriz ortogonal p tal que p^top b p seja uma matriz diagonal. A partir daí obtenha uma base ortonormal u, v subset R^2 tal que a forma quadrática varphi: R^2 R, com varphi(x, y)=4 x^2+2 x y+2 y^2 se escreva como varphi(w)=lambda s^2+mu t^2 para todo vetor w=s u+t v.
Passo 1
O enunciado nos dá a forma quadrática varphi(x,y)=4x^2+2xy+2y^2 associada à matriz simétrica
B=4 & 11 & 2,
e pede uma matriz ortogonal P que diagonalize B (isto é, P^top B P=diag(lambda,mu)) e a base ortonormal de autovetores {u,v} que leva varphi à forma lambda s^2+mu t^2. Vamos usar diagonalização ortogonal de matrizes simétricas.
Passo 2
Para encontrar os autovalores, montamos o polinômio característico