Sejam
funcionais lineares. Prove que a forma bilinear anti-simétrica
, definida por
, é identicamente nula se, e somente se, um dos funcionais dados é múltiplo do outro.
Passo 1
Temos dois funcionais lineares
e definimos a 2-forma bilinear antissimétrica
O objetivo é mostrar que essa 2-forma é identicamente zero se, e somente se,
e
são linearmente dependentes (um é múltiplo do outro). Vamos usar linearidade, antisimetrição e, na recíproca, escolher um vetor onde um funcional não se anula.
Passo 2
Para a implicação direta, suponha que exista
tal que
.
Então para quaisquer temos
Então para quaisquer
Logo, se um funcional é múltiplo do outro,
.
Passo 3
Agora, para a recíproca, suponha
. Se
então
e já temos dependência. Se
, escolha
com
. Então para todo
de onde
Isso mostra que
, ou seja,
é múltiplo de
.
Resposta
Concluímos que a forma
é identicamente nula se, e somente se, um dos funcionais é múltiplo do outro.