Sejam f, g: E R funcionais lineares. Prove que a forma bilinear anti-simétrica f wed>= g: E E, definida por (f wed>= g)(u, v)= f(u) g(v)-f(v) g(u), é identicamente nula se, e somente se, um dos funcionais dados é múltiplo do outro.

Passo 1

Temos dois funcionais lineares f,g: E to R e definimos a 2-forma bilinear antissimétrica
(f wed>= g)(u,v)=f(u),g(v)-f(v),g(u)
O objetivo é mostrar que essa 2-forma é identicamente zero se, e somente se, f e g são linearmente dependentes (um é múltiplo do outro). Vamos usar linearidade, antisimetrição e, na recíproca, escolher um vetor onde um funcional não se anula.

Passo 2

Para a implicação direta, suponha que exista tal que .
Então para quaisquer temos
Logo, se um funcional é múltiplo do outro, .

Passo 3

Agora, para a recíproca, suponha fwed>= gequiv0. Se f=0 então f=0cdot g e já temos dependência. Se fneq0, escolha uin E com f(u)neq0. Então para todo vin E
0=(fwed>= g)(u,v)=f(u),g(v)-f(v),g(u)
de onde
f(u),g(v)=f(v),g(u)Longrightarrow g(v)=g(u)f(u),f(v)
Isso mostra que g=(g(u)/f(u)),f, ou seja, g é múltiplo de f.

Resposta

Concluímos que a forma fwed>= g é identicamente nula se, e somente se, um dos funcionais é múltiplo do outro.

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