a forma quadrática dada por
. Qual é a matriz de
na base
, onde
?
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: temos a forma quadrática φ:ℝ³→ℝ dada por φ(x,y,z)=x²+y²−z²+2xy−3xz+yz. O objetivo é encontrar a matriz de φ na base {u,v,w}, onde u=(3,0,1), v=(1,−1,2), w=(2,1,2). O conteúdo envolve formas quadráticas, matrizes simétricas e mudança de base.
Passo 2
Para montar a matriz de φ na base canônica, escrevemos φ(x)=xᵀAx. Como φ(x,y,z)=x²+y²−z²+2xy−3xz+yz, identificamos os elementos de A: nas diagonais A₁₁=1, A₂₂=1, A₃₃=−1; nos cruzados A₁₂=A₂₁=1, A₁₃=A₃₁=−3/2, A₂₃=A₃₂=1/2. Assim
Passo 3
Para obter a matriz B de φ na base {u,v,w}, usamos B_{ij}=φ(u_i,u_j)=u_iᵀA u_j. Calculamos P=[u v w] e depois B=PᵀAP, mas é mais direto computar φ(u_i,u_j) vetorialmente.
Passo 4
Calculamos então cada elemento de B: φ(u,u)=−1, φ(u,v)=−13, φ(u,w)=−9/2, φ(v,v)=−12, φ(v,w)=−13, φ(w,w)=−5. Como φ é simétrica, B_{ji}=B_{ij}.
Passo 5
Reunindo esses valores, a matriz de φ na base {u,v,w} é: