Seja varphi: R^3 R a forma quadrática dada por varphi(x, y, z)=x^2+ y^2-z^2+2 x y-3 x z+y z. Qual é a matriz de varphi na base u, v, w subset R^3, onde u=(3,0,1), v=(1,-1,2), w=(2,1,2) ?

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: temos a forma quadrática φ:ℝ³→ℝ dada por φ(x,y,z)=x²+y²−z²+2xy−3xz+yz. O objetivo é encontrar a matriz de φ na base {u,v,w}, onde u=(3,0,1), v=(1,−1,2), w=(2,1,2). O conteúdo envolve formas quadráticas, matrizes simétricas e mudança de base.

Passo 2

Para montar a matriz de φ na base canônica, escrevemos φ(x)=xᵀAx. Como φ(x,y,z)=x²+y²−z²+2xy−3xz+yz, identificamos os elementos de A: nas diagonais A₁₁=1, A₂₂=1, A₃₃=−1; nos cruzados A₁₂=A₂₁=1, A₁₃=A₃₁=−3/2, A₂₃=A₃₂=1/2. Assim
A=1 & 1 & -tfrac321 & 1 & tfrac12-tfrac32 & tfrac12 & -1

Passo 3

Para obter a matriz B de φ na base {u,v,w}, usamos B_{ij}=φ(u_i,u_j)=u_iᵀA u_j. Calculamos P=[u v w] e depois B=PᵀAP, mas é mais direto computar φ(u_i,u_j) vetorialmente.

Passo 4

Calculamos então cada elemento de B: φ(u,u)=−1, φ(u,v)=−13, φ(u,w)=−9/2, φ(v,v)=−12, φ(v,w)=−13, φ(w,w)=−5. Como φ é simétrica, B_{ji}=B_{ij}.

Passo 5

Reunindo esses valores, a matriz de φ na base {u,v,w} é:
B=-1 & -13 & -tfrac92-13 & -12 & -13-tfrac92 & -13 & -5

Resposta

-1 & -13 & -tfrac92 -13 & -12 & -13 -tfrac92 & -13 & -5

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