Dada a reta r: 2 x+3 y+5=0 e os pontos A(1,1), B(2,-4) e C(-3,-1), quais destes pontos estão num mesmo semi-plano relativamente à reta r ?

Passo 1

O enunciado nos dá a reta r:2x+3y+5=0 e os pontos A(1,1), B(2,-4) e C(-3,-1). Queremos saber quais estão no mesmo semi-plano em relação a r. Para isso, vamos usar a função implícita
f(x,y)=2x+3y+5
e analisar o sinal de f em cada ponto.

Passo 2

Calculamos f em A:
f(A)=2cdot1+3cdot1+5=2+3+5=10>0
Como f(A) é positivo, A está no semi-plano onde f(x,y)>0.

Passo 3

Calculamos f em B:
f(B)=2cdot2+3cdot(-4)+5=4-12+5=-3<0
Como f(B) é negativo, B está no semi-plano onde f(x,y)<0.

Passo 4

Calculamos f em C:
f(C)=2cdot(-3)+3cdot(-1)+5=-6-3+5=-4<0
Como f(C) também é negativo, C está no mesmo semi-plano de B.

Passo 5

Concluímos que B e C têm o mesmo sinal de f e, portanto, estão no mesmo semi-plano em relação à reta r, enquanto A fica do lado oposto.

Resposta

Os pontos B e C estão em um mesmo semi-plano, e A está do outro lado.

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