Dadas as retas r: 3 x-y=0, s: 2 x+y=0 e o ponto H(3,4), conduzir por H a retat, perpendicular a r, e determinar o ponto onde t intercepta s.

Passo 1

O enunciado pede para traçar por H(3,4) a reta t perpendicular à reta rcolon 3x - y = 0 e depois determinar o ponto onde t intercepta a reta scolon 2x + y = 0. O conteúdo usado será geometria analítica: coeficiente angular de retas, condição de perpendicularidade, equação de reta a partir de um ponto e resolução de sistema linear para interseção.

Passo 2

Escrevemos rcolon3x - y = 0 como y = 3x, de modo que seu coeficiente angular é
mr = 3
Uma reta perpendicular a r tem coeficiente
mt = -1mr = -13

Passo 3

Usamos a forma ponto-declive para achar t passando por H(3,4):
y - 4 = -tfrac13(x - 3)
Multiplicando por 3 e rearranjando em forma geral:
3(y - 4) = -(x - 3) Longrightarrow 3y - 12 = -x + 3 Longrightarrow x + 3y - 15 = 0

Passo 4

Para achar a interseção de
tcolon x + 3y - 15 = 0 e scolon 2x + y = 0,
da reta s obtemos y = -2x. Substituindo em t:
x + 3(-2x) - 15 = 0 ;Longrightarrow; -5x - 15 = 0 ;Longrightarrow; x = -3,
e então
y = -2(-3) = 6

Resposta

A reta t tem equação
x + 3y - 15 = 0
e intercepta s no ponto (-3,6).

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