A matriz de uma forma bilinear b : E times E na base U=u1, ldots, un subset E é dada por bi j=b(ui, uj). Supondo conhecida a forma quadrática varphi: E R, como se pode obter a matriz de varphi na base U a partir dos seus valores varphi(v), v in E ?

Passo 1

O exercício entrega uma forma quadrática varphi: Eto R e pede a matriz de varphi na base U=u1,dots,un.\nConteúdo: relação entre forma quadrática e forma bilinear associada, usando identidade de polarização.

Passo 2

Para resolver, vamos usar que toda forma quadrática varphi em espaço de característica ≠2 vem de uma forma bilinear simétrica b via
varphi(v)=b(v,v)
A identidade de polarização diz que para quaisquer ui,uj:
b(ui,uj)=varphi(ui+uj)-varphi(ui)-varphi(uj)2

Passo 3

Agora, na base U, o elemento aij da matriz de varphi é exatamente
aij=b(ui,uj)
Logo para os termos diagonais i=j temos
aii=b(ui,ui)=varphi(ui),
e para ineq j ficamos com a fórmula da polarização:
aij=varphi(ui+uj)-varphi(ui)-varphi(uj)2,
sendo aji=aij por simetria.

Passo 4

Basta então calcular todos os varphi(ui) e varphi(ui+uj) para montar a matriz simétrica
A=(aij)i,j=1^n

Resposta

Na base U, a matriz A=(aij) da forma quadrática varphi é dada por:
Diagonal:
aii=varphi(ui),
Fora da diagonal ( ineq j):
aij=varphi(ui+uj)-varphi(ui)-varphi(uj)2,
e aji=aij.

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