A matriz de uma forma bilinear
:
na base
é dada por
. Supondo conhecida a forma quadrática
, como se pode obter a matriz de
na base
a partir dos seus valores
?
Passo 1
O exercício entrega uma forma quadrática
e pede a matriz de
na base
.\nConteúdo: relação entre forma quadrática e forma bilinear associada, usando identidade de polarização.
Passo 2
Para resolver, vamos usar que toda forma quadrática
em espaço de característica ≠2 vem de uma forma bilinear simétrica
via
A identidade de polarização diz que para quaisquer
:
Passo 3
Agora, na base
, o elemento
da matriz de
é exatamente
Logo para os termos diagonais
temos
e para
ficamos com a fórmula da polarização:
sendo
por simetria.
Passo 4
Basta então calcular todos os
e
para montar a matriz simétrica
Resposta
Na base
, a matriz
da forma quadrática
é dada por:
Diagonal:
Diagonal:
Fora da diagonal (
):
e
.